Алгебра (универсальная алгебра)

Эта статья — об универсальной алгебре как об алгебраической системе без отношений. О разделе математики, изучающем в том числе данного вида структуры см. Универсальная алгебра.

Алгебра (универсальная алгебра) — множество $A$, называемое носителем алгебры, снабжённое набором $n$-арных алгебраических операций на $A$, называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если $\varphi :A\rightarrow A'$ — гомоморфизм алгебр, а $\theta$ — ядерная конгруэнция $\varphi$ (то есть $\theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}$), то факторалгебра $A/\theta$ изоморфна $A'$.

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов $\mathbf {Aut} A$, моноид эндоморфизмов $\mathbf {End} A$, решётка подалгебр $\mathbf {Sub} A$, решётка конгруэнций $\mathbf {Con} A$, в частности, показано, что для любой группы $G$ и решёток $L_{0}$ и $L_{1}$ существует такая универсальная алгебра $A$, что $G\cong \mathbf {Aut} A$, $L_{0}\cong \mathbf {Sub} A$, $L_{1}\cong \mathbf {Con} A$.

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

См. также

• Теоремы об изоморфизме

Литература

• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
• Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии