Банахова решётка

Банахова решётка ($KB$-линеал) — векторная решётка, являющаяся банаховым пространством с монотонной нормой, то есть в которой для любой пары векторов $x\leqslant y$ выполнено $\lVert x\rVert \leqslant \lVert y\rVert$.

Примеры банаховых решёток — пространства непрерывных функций на произвольном компакте (с равномерной нормой и поточечным порядком), пространства $L^{p}$, пространства Орлича.

Изоморфизм в общеалгебраическом смысле в банаховой решётке является изометрией с точки зрения банаховой нормы, обратное в общем случае не верно. Произвольную векторную решётку можно превратить в банахову, притом единственным с точностью до эквивалентности нормы способом. Более того, все монотонные банаховы нормы на банаховой решётке эквивалентны, что, в общем случае, неверно для произвольных векторных решёток. Тем самым, порядковая структура банаховой решётки содержит всю информацию о банаховой топологии.

Литература

• А. В. Бухвалов, А. И. Векслер, Г. Я. Лозановский. Банаховы решетки – некоторые банаховы аспекты теории (рус.) // Успехи математических наук. — Российская академия наук, 1979. — Т. 34, № 2 (206). — С. 137—183.
• Банахова решётка — статья из Математической энциклопедии. Б. З. Вулих