Внешняя алгебра , или алгебра Грассмана , — ассоциативная алгебра , используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.
Впервые введена Грассманом в 1844 году.
Внешняя алгебра над пространством
V
{\displaystyle V}
⋀
V
{\displaystyle \bigwedge V}
дифференциальных форм на данном многообразии.
Определение и связанные понятия
править
Внешней алгеброй
⋀
V
{\displaystyle \bigwedge V}
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
факторалгебру тензорной алгебры
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
двустороннему идеалу
I
{\displaystyle I}
x
⊗
x
,
x
∈
V
{\displaystyle x\otimes x,x\in V}
⋀
V
=
T
(
V
)
/
I
{\displaystyle {\textstyle \bigwedge }V=T(V)/I}
Если характеристика поля
char
(
K
)
≠
2
{\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}
I
{\displaystyle I}
x
⊗
y
+
y
⊗
x
{\displaystyle x\otimes y+y\otimes x}
Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением . По построению оно антикоммутативно:
x
∧
y
=
−
(
y
∧
x
)
.
{\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}
k -й внешней степенью пространства
V
{\displaystyle V}
⋀
k
V
{\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
x
1
∧
x
2
∧
⋯
∧
x
k
,
x
i
∈
V
,
i
=
1
,
2
,
…
,
k
,
{\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k,}
причём
dim
⋀
k
V
=
(
n
k
)
{\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,}
⋀
k
V
{\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
k > n .
Если
dim
V
=
n
{\displaystyle \dim V=n}
{ e 1 , …, e n — базис
V
{\displaystyle V}
⋀
k
V
{\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
{
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
|
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
и
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
}
.
{\displaystyle \{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~k=1,2,\cdots ,n~~{\text{ и }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.}
Тогда
⋀
(
V
)
=
⋀
0
(
V
)
⊕
⋀
1
(
V
)
⊕
⋀
2
(
V
)
⊕
⋯
⊕
⋀
n
(
V
)
,
{\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{n}(V),}
причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку : если
α
∈
⋀
k
(
V
)
{\displaystyle \alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)}
β
∈
⋀
p
(
V
)
{\displaystyle \beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)}
α
∧
β
=
(
−
1
)
k
p
β
∧
α
∈
⋀
k
+
p
(
V
)
.
{\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).}
Элементы пространства
⋀
r
V
{\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{r}V}
r -векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над
V
,
{\displaystyle V,}
антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением .
В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
(
a
∧
b
)
i
j
=
a
i
b
j
−
a
j
b
i
.
{\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.}
Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
(
a
∧
b
)
i
j
=
(
a
i
b
j
−
a
j
b
i
)
/
2.
{\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.}
Внешний квадрат произвольного вектора
ω
∈
⋀
1
V
{\displaystyle \omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V}
ω
∧
2
=
ω
∧
ω
=
0.
{\displaystyle \omega ^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.}
Для r -векторов при чётном r это неверно. Например
(
e
1
∧
e
2
+
e
3
∧
e
4
)
∧
2
=
2
⋅
e
1
∧
e
2
∧
e
3
∧
e
4
.
{\displaystyle (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4})^{\wedge 2}=2\cdot \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}.}
Линейно независимые системы из
r
{\displaystyle r}
x
1
,
…
,
x
r
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}
y
1
,
…
,
y
r
{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}}
V
{\displaystyle V}
r
{\displaystyle r}
x
1
∧
⋯
∧
x
r
{\displaystyle x_{1}\wedge \dots \wedge x_{r}}
y
1
∧
⋯
∧
y
r
{\displaystyle y_{1}\wedge \dots \wedge y_{r}}
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7 Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О.М. : Физматлит, 2009.Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М. : Мир, 1984.Ефимов Н. В. М. : Наука , 1977. 
