Гиперэллиптическая поверхность

Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с размерностью Кодайры 0 в классификации Энриквеса — Кодайры.

Инварианты

Размерность Кодайры равна 0.

Ромб Ходжа:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Классификация

Любая гиперэллипическая поверхность является фактором $(E{\times }F)/G$, где $E=\mathbf {C} /\Lambda$, F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.

Порядок K	$\Lambda$	G	Действие G на E
2	Любая	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e$
2	Любая	$\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -e,e\rightarrow e+c,-c=c$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e$
3	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /3\mathbf {Z}$	$e\rightarrow \omega e,e\rightarrow e+c,{\omega }c=c$
4	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /\mathbf {Z}$	$e\rightarrow ie$
4	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} i$	$\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$	$e\rightarrow ie,e\rightarrow e+c,ic=c$
6	$\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} \omega$	$\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$	$e\rightarrow -{\omega }e$

Здесь $\omega$ — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-й степени из 1.

Квазигигиперэллиптические пространства

Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор которого численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и голоморфная эйлерова характеристика. Классификацию провели Бомбиери и Мамфорд, которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором $(E-F)/G$, где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной групповой подсхемой группы F (действующей на F переносами).