Единица (алгебра)

Не следует путать с обратимым элементом.

Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E.

Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.

Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы, что может вносить путаницу.

Единица, нуль и теория категорий

В зависимости от алгебраической структуры и её точного определения равенство 1 = 0 может быть как запрещено, так и разрешено, однако там, где такое равенство имеет место, объект тривиален. Поле имеет единицу по определению и требуется 1 ≠ 0, так что всякое поле содержит как минимум два различных элемента. В категории Ring колец с единицей тривиальное кольцо является терминальным объектом.

Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.

Обратимость

Основная статья: Обратимый элемент

Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:

$\exists v_{1}:v_{1}\,u=1$

$\exists v_{2}:u\,v_{2}=1$

Из ассоциативности умножения следует, что в таком случае v₁ = v₂, откуда опять-таки следует, что выбор единственен.

Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (англ. unity, фр. unité), но это понятие шире, нежели конкретный нейтральный элемент 1. Например, в поле обратим всякий элемент, отличный от нуля.

Идемпотентность

Основная статья: Идемпотент

Если $e\in R$ — идемпотент в кольце, и идеалы $eR$ и $Re$ совпадают, то e является там (в подкольце) единицей.

Добавление единицы

Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:

$(a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }$

с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.

С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над $\mathbb {Z}$.

В градуированных алгебрах

В градуированной алгебре, единица (если существует) обязана иметь степень 0.

Примеры

• 1 (число): в целых, рациональных, действительных, и других числах
• Единичная матрица: см. умножение матриц
• Тождественный оператор в операторных алгебрах
• Многочлен 1 (нулевой степени) в кольце многочленов