Знакопеременная группа

Знакопеременная группа перестановок (подстановок) степени n — подгруппа симметрической группы $S_{n}$ степени $n$, содержащая только чётные перестановки.

Обычно обозначается $A_{n}$.

Свойства

• Индекс подгруппы знакопеременной группы в симметрической равен 2:

  $[S_{n}:A_{n}]=2.$

• Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы (следует из предыдущего утверждения).
• Порядок знакопеременной группы равен:

  $|A_{n}|=n!/2.$

• Знакопеременная группа является коммутантом симметрической группы: $[S_{n},S_{n}]=A_{n}.$
• При $n\geq 5$ знакопеременная группа $A_{n}$ является простой.
• Знакопеременная группа разрешима тогда и только тогда, когда её порядок не больше 4. Точнее, $A_{2}=\{e\},A_{3}\cong \mathbb {Z} _{3},[A_{4};A_{4}]\cong V_{4}$ - четверной группе Клейна, а при $n\geqslant 5\ [A_{n};A_{n}]\cong A_{n}$.
• Группа $A_{n}$ имеет представление

  $A_{n}=\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$

здесь $s_{i}\to (12i)$.