Классический радиус электрона

Класси́ческий ра́диус электро́на, также известный как радиус Лоренца или длина томсоновского рассеяния, базируется на классической релятивистской модели электрона, в которой предполагается, что вся масса электрона имеет электромагнитную природу, то есть масса электрона, умноженная на квадрат скорости света, равна энергии создаваемого им электрического поля. При этом электрон представляется сферической частицей с определённым радиусом, поскольку при нулевом радиусе энергия созданного электроном поля была бы бесконечной.

$r_{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{0}c^{2}}}$ = 2,8179403267(27) ⋅10^-15 м,

где e и m₀ есть электрический заряд и масса электрона, c — скорость света, а $\varepsilon _{0}$ — диэлектрическая постоянная.

Классический радиус электрона равен радиусу полой сферы, на которой равномерно распределён заряд, если этот заряд равен заряду электрона, а потенциальная энергия электростатического поля $U_{0}\$ полностью эквивалентна половине массы электрона, умноженной на квадрат скорости света (без учета квантовых эффектов):

$U_{0}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {e^{2}}{r_{0}}}={\frac {1}{2}}m_{0}c^{2}$.

Дифференцирование

Классическая шкала длины радиуса электрона может быть мотивирована рассмотрением энергии, необходимой для сборки количества заряда $q$ в сферу заданного радиуса $r$. Электростатический потенциал на расстоянии $r$ от заряда $q$ равен

$V(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r}}$.

Чтобы вывести дополнительное количество заряда $dq$ из бесконечности, необходимо вложить в систему энергию $dU$ которая равна

$dU=V(r)dq$.

Если "предполагается", что сфера имеет постоянную плотность заряда $\rho$, то

$q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ и $dq=\rho 4\pi r^{2}dr$.

Выполнение интегрирования для $r$, начиная с нуля до конечного радиуса $r$, приводит к выражению для суммарнаю энергии $U$, необходимой для сборки полного заряда $q$ в однородную сферу радиуса $r$:

$U={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3}{5}}{\frac {q^{2}}{r}}$.

Это называется электростатической собственной энергией объекта. Заряд $q$ теперь интерпретируется как заряд электрона $e$; энергия $U$ устанавливается равной релятивистской масс-энергии электрона $mc^{2}$; числовой коэффициент 3/5 игнорируется как специфический для частного случая однородной плотности заряда. Затем радиус $r$ "определяется" как классический радиус электрона $r_{\text{e}}$ и мы приходим к выражению приведенному выше.

Обратите внимание, что дифференцирование не говорит, что $r_{\text{e}}$ это фактический радиус электрона. Оно только устанавливает пространственную связь между электростатической собственной энергией и масштабом массы-энергии электрона.

Связь с другими фундаментальными длинами

Сегодня классический радиус электрона рассматривается как классический предел для размеров электрона, которая используется при рассмотрении нерелятивистского рассеяния Томсона, а также в релятивистской формуле Клейна — Нишины. Классический радиус электрона является представителем тройки фундаментальных длин; две другие из этой тройки - боровский радиус ($a_{B}$) и комптоновская длина волны электрона

$\lambda _{0}=h/m_{0}c.\$

Учитывая постоянную тонкой структуры α, классический радиус электрона можно переписать в форме:

$r_{0}=\alpha \lambda _{0}/2\pi =\alpha \lambda _{0\pi },\$

где $\lambda _{0\pi }=\lambda _{0}/2\pi$ — приведённая комптоновская длина волны электрона. Через длину классического радиуса электрона можно выразить комптоновскую длину волны электрона

$\lambda _{0\pi }=r_{0}/\alpha \$

и боровский радиус:

$a_{B}=r_{0}/\alpha ^{2}.\$

Если рассматривать радиус протона 0,8768 фемтометра(CODATA-2006) ,то радиус электрона в 3.21 раза больше радиуса протона.

Отсюда радиус электрона равен: 2,814528 фемтометра (2017-02-04)

Существование постоянной $r_{0},$ однако, не означает, что это настоящий радиус электрона. На таких расстояниях действуют законы квантовой механики, в которой электрон рассматривается как точечная частица.

Литература

• CODATA value for the classical electron radius Архивная копия от 10 января 2022 на Wayback Machine at NIST.
• Arthur N. Cox, Ed. «Allen’s Astrophysical Quantities», 4th Ed, Springer, 1999.

Ссылки

• Length Scales in Physics: the Classical Electron Radius