Комплекснозначная функция

Эта статья — о функции вещественного аргумента. О комплекснозначной функции комплексного аргумента см. Комплексная функция.

Комплекснозначная функция в теории функций вещественной переменной — функция, принимающая комплексные значения: $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$.

Такая функция может быть представлена в виде:

$f(x)=u(x)+iv(x)$,

где $u(x)$ и $v(x)$ — вещественные функции. В этом случае функция $u(x)$ называется вещественной частью функции $f(x)$, а $v(x)$ — её мнимой частью. В связи с таким разложением, на комплекснозначные функции естественным образом переносятся все понятия, вводимые для вещественнозначных функций, в частности, комплекснозначная функция считается непрерывной (дифференцируемой, аналитической, измеримой, гармонической), если её вещественная и мнимая части являются непрерывными (дифференцируемыми, аналитическими, измеримыми, гармоническими) функциями. Интеграл комплекснозначной функции $f(x)=u(x)+iv(x)$ определяется следующим образом:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b}v(x)dx$.

Однако не все свойства, выполненные для вещественной и мнимой части одновременно, могут быть распространены на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций в общем случае не действует теорема Ролля, например, производная комплекснозначной функции вещественного аргумента:

$\sigma (x)=e^{ix}$

на интервале $[0,2\pi ]$ не обращается в нуль, хотя в конечных точках отрезка значения функции равны $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$.

Литература

• Титчмарш Е. Теория функций. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.