Краевая задача

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n-го порядка

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

$L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,m,$

где

$L(y)=\sum _{\nu =0}^{n}f_{\nu }(x)y^{(\nu )},$

функции $f(x)$ и $f_{\nu }(x)$ непрерывны на отрезке $a\leq x\leq b$, $f_{n}(x)\neq 0$, краевые условия заданы линейными формами

$U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}\left[\alpha _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(a)+\beta _{\mu }^{(k)}y^{(k)}(b)\right],\quad \mu =1,2,\dots ,m,$

$\gamma _{\mu }$ — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов $\alpha _{\mu },\beta _{\mu }$ имеет ранг $m$, при этом краевые условия линейно независимы. Если $\gamma _{\mu }=0$ и $f(x)\equiv 0$, краевая задача называется однородной, если только $\gamma _{\mu }=0$ — полуоднородной.

Задача на собственные значения

Собственными значениями называются те значения параметра $\lambda$, при которых однородная краевая задача

$L(y)+\lambda g(x)y=0,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,m,$

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если $\varphi _{1}(x,\lambda ),\varphi _{2}(x,\lambda ),\dots ,\varphi _{n}(x,\lambda )$ — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

$\varphi _{p}^{(q)}(a,\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}1,\quad q=p-1,\\0,\quad q\neq p-1.\end{array}}\right.\quad p=1,2,\dots ,n,\quad q=0,\dots ,n-1,$

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

$\Delta (\lambda )=\det[U_{\mu }(\varphi _{\nu })]$. Если $\Delta (\lambda )\not \equiv 0$, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

• Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
• Задача о разложении по собственным функциям. Если $u_{\nu }(x)$ — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция $F(x)$ может быть разложена в сходящийся ряд

$F(x)=\sum c_{\nu }u_{\nu }(x)$

по функциям $u_{\nu }(x)$?

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

${\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$

${\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}$

Функция Грина

Основная статья: Функция Грина

Теорема 1. Если однородная краевая задача $L(y)=0,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$ имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$, существует решение полуоднородной краевой задачи $L(y)=f,\,U_{\mu }(y)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$, задаваемое формулой $y(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi ,$ где $G(x,\xi )$ — функция Грина однородной краевой задачи.

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из $n$ раз непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $y$, удовлетворяющих краевым условиям $U_{\mu }(y)=0$, и действующий по правилу $L(y)$. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром $G(x,\xi )$.

Функция Грина $G(x,\xi )$ однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $G(x,\xi )$ непрерывна и имеет непрерывные производные по $x$ до $(n-2)$-го порядка включительно для всех значений $x$ и $\xi$ из интервала $[a,b]$.
2. При любом фиксированном $\xi$ из отрезка $[a,b]$ функция $G(x,\xi )$ имеет непрерывные производные $(n-1)$-го и $n$-го порядка по $x$ в каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$, причем производная $(n-1)$-го порядка имеет при $x=\xi$ скачок ${\frac {1}{f_{n}(x)}}$.
3. В каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$ функция $G(x,\xi )$, рассматриваемая как функция от $x$, удовлетворяет уравнению $L(G)=0$ и краевым условиям $U_{\mu }(G)=0,\,\mu =1,2,\dots ,n$.

Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

$L(y)=f(x),\quad U_{\mu }(y)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n.$

Решение имеет вид

$y=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi +\sum _{k=1}^{n}\gamma _{k}\psi _{k}(x),$

где $\psi _{k}(x)$ — решения краевых задач

$L(y)=0,\quad U_{k}(y)=1,\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu \neq k,\quad \mu =1,2,\dots ,n.$

Краевая задача с параметром

$L(y)=\lambda y+f(x),\quad U_{\mu }(y)=0,\quad \mu =1,2,\dots ,n,$

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

$y(x)=\lambda \int _{a}^{b}G(x,\xi )y(\xi )d\xi +g(x),$

где

$g(x)=\int _{a}^{b}G(x,\xi )f(\xi )d\xi .$

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра $G(x,\xi )$.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Краевая задача состоит в отыскании системы функций $u_{1}(x),u_{2}(x),\dots ,u_{n}(x)$, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

$u'_{\mu }=\sum _{\nu =1}^{m}f_{\mu ,\nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\quad \mu =1,2,\dots ,m,$

и краевым условиям

$U_{\mu }(u)=\gamma _{\mu },\quad \mu =1,2,\dots ,n,$

где $f_{\mu },f_{\mu ,\nu }$ — функции, непрерывные на отрезке $a\leq x\leq b$,

$U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^{n}\left[\alpha _{\mu ,k}u_{k}(a)+\beta _{\mu ,k}u_{k}(b)\right],$

матрица

$(\alpha ,\beta )=\left({\begin{array}{llllll}\alpha _{1,1}&\dots &\alpha _{1,n}&\beta _{1,1}&\dots &\beta _{1,n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\alpha _{n,1}&\dots &\alpha _{n,n}&\beta _{n,1}&\dots &\beta _{n,n}\\\end{array}}\right)$

имеет ранг $n$, $\gamma _{\mu }$ — заданные числа.

Численные методы решения

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

• Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.
• Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).
• Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул.
• Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.
• Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

$y''=p(x)y+q(x),\quad y'(a)=\alpha _{0}y(a)+\alpha _{1},\quad y'(b)=\beta _{0}y(b)+\beta _{1}$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

$y'(x)=\alpha _{0}(x)y(x)+\alpha _{1}(x)\quad (*)$,

где функции $\alpha _{0}(x),\alpha _{1}(x)$ находятся как решения задачи Коши

$\alpha '_{0}(x)+\alpha _{0}^{2}(x)=p(x),\quad \alpha _{0}(a)=\alpha _{0},$

$\alpha '_{1}(x)+\alpha _{0}(x)\alpha _{1}(x)=q(x),\quad \alpha _{1}(a)=\alpha _{1}.$

Затем $y(x)$ находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию $y'(b)=\alpha _{0}(b)y(b)+\alpha _{1}(b)$.

Применение

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка. Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.

Уравнения в частных производных

Обозначения

Пусть $G$ — ограниченная область в $\mathbb {R} ^{n}$ с кусочно-гладкой границей $S$, $n$ — вектор нормали к границе $S$, направленный вовне области $G$, ${\frac {\partial u}{\partial n}}$ — производная по направлению нормали, $Q_{\infty }=G\times (0,\infty )$. Функции $p,q,\alpha ,\beta ,\rho$ удовлетворяют условиям:

$p\in C^{1}({\bar {G}}),\quad q\in C({\bar {G}}),\quad p(x)>0,\quad q(x)\geq 0,\quad x\in G,$

$\alpha \in C(S),\quad \beta \in C(S),\quad \alpha (x)\geq 0,\quad \beta (x)\geq 0,\quad \alpha (x)+\beta (x)>0,\quad x\in S,$

$\rho \in C({\bar {G}}),\quad \rho (x)>0,\quad x\in {\bar {G}}.$

Здесь ${\bar {G}}=G\cup S$ — замыкание области $G$, $C({\bar {G}})$ — множество функций, непрерывных в ${\bar {G}}$, $C^{k}({\bar {G}})$ — множество функций, $k$ раз непрерывно дифференцируемых в ${\bar {G}}$.

Уравнения гиперболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции $u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty })$, удовлетворяющей уравнению

$\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },$

начальным условиям

$u_{|t=0}=u_{0}(x),\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}_{|t=0}=u_{1}(x),\quad x\in {\bar {G}},$

и граничному условию

$\alpha u+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}|_{S}=0.$

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

$F\in C(Q_{\infty }),\quad u_{0}\in C^{1}({\bar {G}}),\quad u_{1}\in C({\bar {G}})$

и условие согласованности

$\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}=0$.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $u_{0},u_{1},F$.

Уравнения параболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции $u(x,t)\in C^{2}(Q_{\infty })\cap C^{1}({\bar {Q}}_{\infty }),\,{\mbox{grad}}_{x}\,u\in C({\bar {Q}}_{\infty })$, удовлетворяющей уравнению

$\rho {\frac {\partial u}{\partial t}}={\mbox{div}}\,(p\,{\mbox{grad}}\,u)-qu+F(x,t),\quad (x,t)\in Q_{\infty },$

начальному условию

$u_{t=0}=u_{0}(x),\quad x\in {\bar {G}},$

и граничному условию

$\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u}{\partial n}}=v(x,t),\quad (x,t)\in S\times [0,\infty ).$

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

$F\in C(Q_{\infty },\quad u_{0}\in C({\bar {G}}),\quad v\in C(S\times [0,\infty )),$

и условие согласованности

$\alpha u_{0}+\beta {\frac {\partial u_{0}}{\partial n}}|_{S}=v(x,0).$

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $F,u_{0},v$.

Уравнения эллиптического типа

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

$\Delta u=0$.

Пусть область $G\in \mathbb {R} ^{3}$ такова, что $G_{1}=\mathbb {R} ^{3}\backslash G$.

• Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C({\bar {G}})$, принимающую на границе $S$ заданные (непрерывные) значения $u_{0}^{-}$.
• Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G_{1}$ функцию $u\in C({\bar {G}}_{1})$, принимающую на $S$ заданные (непрерывные) значения $u_{0}^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
• Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C({\bar {G}})$, имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_{1}^{-}$.
• Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G_{1}$ функцию $u\in C({\bar {G}}_{1})$, имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_{1}^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

$\Delta u=-f$.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.

Методы решения

• Метод разделения переменных
• Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)
• Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)
• Разностные методы.
• Вариационные методы.
• Метод конечных элементов.

См. также

• Задача Коши
• Начальные и граничные условия
• Задача Штурма-Лиувилля
• Функция Грина
• Волновое уравнение
• Гиперболическое уравнение
• Параболическое уравнение
• Эллиптическое уравнение
• Задача Дирихле
• Задача Неймана

Литература

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем.. — 4-е изд., испр.. — М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

Уравнения в частных производных

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.

Численные методы

• На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982. — 286 с.
• Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. — М.: Гос. изд-во физ.-мат.лит., 1959.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
• Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для вузов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 432 с. — ISBN 5-02-013996-3.