Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Определение править

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

 
Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке   определена функция вещественного переменного  .

Разбиением   отрезка   будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки   и  . [1] Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения   обозначим за  , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

 .

Множество всех разбиений отрезка   обозначим за  .

Частичным отрезком разбиения   назовём отрезок  .

 

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за  .

 

Диаметром разбиения   назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения  .[2]

 

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за   и  .

 ,
 .

Тогда, нижней суммой Дарбу   функции   на разбиении   называется

 

Верхней суммой Дарбу   называется

 [3]

Тогда нижним интегралом Дарбу   называется

 

Верхним интегралом Дарбу   называется

 [4]

Альтернативные определения править

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

  • Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.[5]
 
 
  • Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.[6]
 
 

Свойства править

Свойства сумм Дарбу править

  • При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.[7]
 
  • Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.[4]
 
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
  • При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.[7]
  — измельчение  .
Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.
Пусть d — диаметр  , измельчение   — получено добавлением не более чем   точек к  ,   и   — точные грани функции   на отрезке  . Тогда
 
 [5]
  • Пусть   — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками   верно следующее неравенство:
 [8]
  • Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении.[7] Пусть   — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении  . Тогда
 ,
 .

Свойства интегралов Дарбу править

  • Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны.[9] Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен  , для неограниченной снизу нижний интеграл равен  .
  • Для сумм и интегралов верны следующие неравенства
 [9]
  • Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.[5]
  и  
  и  
Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.
  • Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на   ограниченной на этом отрезке функции   равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.
  — интегрируема по Риману  [10]

Вариации и обобщения править

Кратный интеграл Дарбу править

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть  измеримое по Жордану множество,   — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за  .

 

За   обозначим меру Жордана  .

Множество всех разбиений   будем обозначать  .

Диаметр разбиения   определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

 

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за   и  .

 ,
 .

Тогда, нижней суммой Дарбу   функции   на разбиении   называется

 

Верхней суммой Дарбу   называется

 [11]

Тогда нижним интегралом Дарбу   называется

 

Верхним интегралом Дарбу   называется

 [12]

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.[13]

Примечания править

  1. Ильин, 1985, с. 330.
  2. Ильин, 1985, с. 331.
  3. Архипов, 1999, с. 190.
  4. 1 2 Ильин, 1985, с. 337.
  5. 1 2 3 Ильин, 1985, с. 338.
  6. Архипов, 1999, с. 208.
  7. 1 2 3 Ильин, 1985, с. 336.
  8. Ильин, 1985, с. 335.
  9. 1 2 Архипов, 1999, с. 191.
  10. Кудрявцев, 2003, с. 553.
  11. Архипов, 1999, с. 559.
  12. Архипов, 1999, с. 548.
  13. Архипов, 1999, с. 550.

Литература править

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
  • Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.