Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости

Передаточная функция динамической системы $\ T(s)$ может быть представлена в виде дроби

$\ T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}$.

Устойчивость $\ T(s)$ достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости $\ s$. В правой полуплоскости их быть не должно. Если $\ T(s)$ получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией $\ F(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}$, тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции $\ 1+F(s)$. Выражение $\ 1+F(s)=0$ называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур $\Gamma _{s}\$, охватывающий на $\ s$-плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость $\ F(s)$) при помощи функции $\ F(s)$ таким образом, что получившийся контур $\Gamma _{F(s)}\$ будет охватывать центр $\ F(S)$-плоскости $\ n$ раз, причём $\ n=z-p$, где $\ z$ — число нулей, а $\ p$ — число полюсов функции $\ F(s)$. Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура $\Gamma _{s}\$, а отрицательным — противоположное ему.

Формулировка критерия

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

• участок, идущий вверх по оси $\ j\omega \$, от $0-j\infty$ до $0+j\infty$.
• полуокружность радиусом $r\to \infty$, начинающаяся в точке $0+j\infty$ и достигающая конца в точке $0-j\infty$ по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы $\ F(s)$, в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции $\ F(s)$ минус количество полюсов $\ F(s)$ в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку $\ -1+j0$, получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции $\ 1+F(s)$. Заметив, что функция $\ 1+F(s)$ имеет такие же полюса, что и функция $\ F(s)$, а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть $\Gamma _{s}\$ — замкнутый контур в комплексной плоскости, $\ p$ — число полюсов $\ F(s)$, охваченных контуром $\Gamma _{s}\$, а $\ z$ — число нулей $\ F(s)$, охваченных $\Gamma _{s}\$ — то есть число полюсов $\ T(s)$, охваченных $\Gamma _{s}\$. Получившийся контур в $\ F(s)$-плоскости, $\Gamma _{F(s)}\$ должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку $\ -1+j0$ $\ n$ раз, где $\ n=z-p$.

В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году):

Система порядка $\ n$ устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит $\ n$ координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.

Следствия критерия Найквиста — Михайлова:

• Если разомкнутая система с передаточной функцией $\ F(s)$ устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
• Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов $\ F(s)$ вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов $\ F(s)$ в правой полуплоскости.
• Количество дополнительных охватов (больше, чем $\ n+p$) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также

• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• ЛАФЧХ

Литература

• Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
• Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
• Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.