Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 29 декабря 2020 года; проверки требуют 6 правок.
У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Лагранжа.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравненияправить
Станем искать решение уравнения
полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения
известно решение, которое запишем как
Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении на вспомогательные функции .
Производная для запишется
Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы
Таким образом,
Вводя схожие требования для при последовательном дифференцировании до (n-1) порядка, получим
А для старшей производной, соответственно
После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется
В результате, приходим к
Определителем системы (2) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .
Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной формеправить
состоит в построении общего решения (3) в виде
где — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при имеет вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается: