Неравенство Бишопа — Громова

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности.

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка

Пусть $M$ — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

$\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K$

для постоянной $K\in \mathbb {R}$.

Обозначим через $B(p,r)_{M}$ шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть $\mathbb {M} ^{n}(K)$ обозначает n-мерное модельное пространство. То есть $\mathbb {M} ^{n}(K)$ — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны $K$. Таким образом,

• $\mathbb {M} ^{n}(K)$ является n-сферой радиуса $1/{\sqrt {K}}$, если $K>0$, или
• n-мерным евклидовым пространством, если $K=0$, или
• пространством Лобачевского с кривизной $K<0$.

Тогда для любых $p\in M$ и ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$ функция

$\phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}$

не возрастает в интервале $(0,\infty )$.

Замечания

• При $K=0$ неравенство можно записать следующим образом

  $\operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}$

при $\lambda \geqslant 1$.

• Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что

  $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}.$

Это неравенство иногда называется неравенством Бишопа; оно было доказано Бишопом.

См. также

• Теорема Майерса