Параметрический осциллятор

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса $m$, коэффициент упругости $k$ и коэффициент затухания $\beta$. Если эти коэффициенты зависят от времени, и $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$, то уравнение движения имеет вид

${\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,$

$(1)$

Сделаем замену переменной времени $t$ →$\tau$, где $d\tau =dt/m(t)$, что приводит уравнение (1) к виду

${\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,$

$(2)$

Сделаем еще одну замену $x(\tau )$ → $q(\tau )$:

$q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }\beta (\xi )d\xi ,$

$(3)$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

${\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )=km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},$

$(4)$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,$

$(5)$

которое получилось бы из уравнения (1) при $m=const$.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости $\omega (t)$ уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости $\omega (t)$ — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$, то есть уравнение (5) имеет вид

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(6)$

Где $\omega _{0}$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты $h\ll 1$, постоянная $\varepsilon \ll \omega _{0}$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что $h>0$. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра $\varepsilon$, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение $x(t)$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

$-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},$

$(7)$

2. Рассмотрим случай, когда $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$ , то есть уравнение (5) имеет вид

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,$

$(8)$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой $y=2\omega _{0}+\varepsilon$. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов $h^{2}$, происходит в случае, когда

$-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac {1}{32}}h+{\frac {1}{2}},$

$(9)$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

${\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]\phi =0,$

$(10)$

где $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}$, и $h={\frac {4a}{l}}$. В случае, когда $a\ll l$ и ограничиваясь первым порядком разложения по $h$, получим, что

$-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}},$

$(11)$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний $\omega =\omega _{0}$ и её удвоенного значения $\omega =2\omega _{0}$, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(12)$

Параметрический резонанс имеет место, когда

$\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,$

$(13)$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника $\omega _{0}$, а ширина резонанса равна $h\omega _{0}$. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,$

$(14)$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых $h\ll 1$, а лишь при тех $h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$. Т.о., при наличии трения

${\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,$,

$(15)$

что позволяет надлежащим выбором параметров $\gamma$,$\omega _{0}$, и $h$, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.