Унивалентный функтор (строгий функтор) — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

Соответственно, функтор между локально малыми категориями и :

для каждой пары из ( — срез функтора на морфизмы ).

Унивалентный функтор не обязательно инъективен на объектах категории , поэтому образ вполне унивалентного функтора не обязан быть категорией, изоморфной . Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне унивалентный функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если является вполне унивалентным и , то (в этом случае говорят, что функтор отражает изоморфизмы).

Любой унивалентный функтор отражает мономорфизмы и эпиморфизмы. Из этого следует, что любой унивалентный функтор из сбалансированной категории отражает изоморфизмы.

Пример унивалентного функтора — забывающий функтор для категории групп : гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. (Категория с унивалентным функтором в называется конкретной категорией.) Функтор, вкладывающий категорию абелевых групп в категорию групп , вполне унивалентный.

Литература править

  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.