Преобразование Гильберта

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции $u(t)$ от действительной переменной функцию $H(u)(t)$ в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией $1/(\pi t)$. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

Определение

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

$H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,$

или, более явно:

$H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t)*u(t):=\delta (jt)*u(t).$

Свойства

Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:

$H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),$

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию $H{\big (}u(t){\big )}$, ортогональную функции $u(t)$.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

${\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),$

где ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$ — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

Обратное преобразование

$H^{-1}=-H.$

Некоторые преобразования Гильберта

В следующей таблице параметр частоты $\omega$ является действительным числом.

Сигнал $u(t)\,$	Преобразование Гильберта $H(u)(t)$
константа	0
$\sin \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin \omega t$
$e^{i\omega t}$	$\operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )e^{i\omega t}$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	$2\pi ^{-1/2}F(t)$ (F(t) — интеграл Доусона)
Sinc ${\frac {\sin t}{t}}$	${\frac {1-\cos t}{t}}$
Характеристическая функция над отрезком [a, b] $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }$
Прямоугольная функция (частный случай предыдущего) $\sqcap (t)$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
Дельта-функция $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$

Геометрический смысл

Для $2\pi$-периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных однородных пространств. Именно, группа $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности имеет факторпространство $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию изометрий окружности). Он называется пространством Кириллова — Юрьева, и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с $2\pi$-периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом $-\mathrm {Id}$); его собственное подпространство для собственного числа ${\sqrt {-1}}$ (то, что называется в теории Ходжа $(1,0)$-подпространство) есть пространство Харди — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря, $2\pi$-периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$, фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям мёбиусово преобразование (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$, биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал А. Г. Сергеев.

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это расслоение Хопфа $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$. Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством $\mathbb {C} ^{n+1}$, из которого выброшен нуль. Так же и группа $\mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})$ может быть расширена группой $\mathbb {R} _{>0}$ (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся коциклом Гельфанда — Фукса, который в терминах функций на окружности пишется как $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right|dx$. Соответствующая группа называется группой Вирасоры (иногда Ботта — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в теории струн и других разделах конформной теории поля.

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Соотношения Крамерса — Кронига