Пробит-регрессия

Про́бит-регрессия (пробит-модель, англ. probit) — применяемая в различных областях (эконометрика, токсикология и др.) статистическая (нелинейная) модель и метод анализа зависимости качественных (в первую очередь — бинарных) переменных от множества факторов, основанная на нормальном распределении (в отличие от, например, аналогичной логит-регрессии, основанной на логистическом распределении). В экономике (эконометрике) пробит-модели (наряду с логит-, гомпит- и др.) используются в моделях бинарного выбора или в моделях множественного выбора между различными альтернативами, для моделирования дефолтов компаний, в страховании жизни - для оценки вероятности смерти в зависимости от возраста и пола и т. д. В токсикологии пробит-регрессия используется для оценки влияния дозы или концентрации тех или иных веществ на биологические объекты.

Пробит-модель позволяет оценить вероятность того, что анализируемая (зависимая) переменная примет значение 1 при заданных значениях факторов (то есть это оценка доли "единиц" при данном значении факторов). В пробит-модели пробит-функция от вероятности моделируется как линейная комбинация факторов (включая константу). Пробит-функцией принято называть функцию, обратную к интегральной функции (CDF) стандартного нормального распределения, то есть функцию, определяющую квантиль стандартного нормального распределения для заданной вероятности $x_{q}=\Phi ^{-1}(q)$.

Термин «probit» как производное от англ. probability unit предложил (впервые использовал) Честер Блисс (Chester Ittner Bliss [1899—1979]) в своей статье, посвященной количественному анализу смертельного действия ядов на примере действия никотина на щавелевую тлю (Aphis rumicis L.). С тех пор метод пробит-анализа особенно популярен в токсикологии. Само использование функции нормального распределения для описания зависимости «доза — эффект» восходит к английскому математику J. W. Trevan который показал, что интенсивность клеточного ответа на данную дозу лекарственного вещества подчиняется распределению Гаусса.

Сущность модели

Пробит-модель является частным случаем модели бинарного выбора в которой используется нормальное распределение. А именно, пусть зависимая переменная $Y$ является бинарной, то есть может принимать только два значения, которые для упрощения предполагаются равными $1$ и $0$. Например, $Y$ может означать наличие/отсутствие каких-либо условий, успех или провал чего-либо, ответ да/нет в опросе и т. д. Пусть также имеется вектор регрессоров (факторов) $X$, которые оказывают влияние на $Y$. В пробит-модели предполагается, что вероятность того, что $Y=1$ определяется нормальным распределением, таким образом пробит-модель имеет вид:

$p(x)=P(Y=1\mid X=x)=\Phi (x^{T}b)$

где $\Phi$ — интегральная функция распределения (CDF) стандартного нормального распределения, $b$ — неизвестные параметры, которые требуется оценить.

Использование именно стандартного нормального распределения не ограничивает общности модели, так как возможное ненулевое среднее учтено в константе, которая обязательно присутствует в числе факторов, а возможная неединичная дисперсия учитывается за счет соответствующего нормирования всех коэффициентов b.

Как и в общем случае модели бинарного выбора в основе модели лежит предположение о наличии некоторой скрытой (ненаблюдаемой) переменной $Y^{*}$, в зависимости от значений которой наблюдаемая переменная $Y$ принимает значение $0$ или $1$:

$Y={\begin{cases}1,Y^{*}>0\\0,Y^{*}<0\end{cases}}$

Предполагается, что скрытая переменная зависит от факторов $X$ в смысле обычной линейной регрессии $y^{*}=x^{T}b+\varepsilon$, где случайная ошибка в данном случае имеет стандартное нормальное распределение $N(0,1)$. Тогда

$p(x)=P(Y^{*}>0|X=x)=P(x^{T}b+\varepsilon >0)=P(\varepsilon >-x^{T}b)=1-\Phi (-x^{T}b)=\Phi (x^{T}b)$

Последнее равенство следует из симметричности нормального распределения.

Также модель может быть обоснована через полезность альтернатив — не наблюдаемой функции $U(y,x)$, то есть фактически двух функций $U_{1}(x)=x^{T}b_{1}+\varepsilon _{1}$ и $U_{0}(x)=x^{T}b_{0}+\varepsilon _{0}$ соответственно для двух альтернатив. Функция разности полезностей альтернатив здесь выполняет роль той самой скрытой переменной.

Оценка параметров

Оценка обычно производится методом максимального правдоподобия. Пусть имеется выборка объёма $n$ факторов $X$ и зависимой переменной $Y$. Для данного номера наблюдения используем индекс $t$. Логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

$l(b)=\sum _{t=1}^{n}(y_{t}\ln \Phi (x_{t}^{T}b)+(1-y_{t})\ln(1-\Phi (x_{t}^{T}b))$

Максимизация данной функции по неизвестным параметрам позволяет получить состоятельные, асимптотически эффективные и асимптотически нормальные оценки параметров. Последнее означает, что:

${\sqrt {n}}({\hat {b}}-b)\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,\,\Omega ^{-1}),$

где $\Omega ^{-1}$ — асимптотическая ковариационная матрица оценок параметров, которая определяется стандартным для метода максимального правдоподобия способом (через гессиан или градиент логарифмической функции правдоподобия в оптимальной точке):

$\Omega =\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {\varphi ^{2}(X'b)}{\Phi (X'b)(1-\Phi (X'b))}}XX'{\bigg ]}$,

где $\varphi$ — функция плотности вероятности (PDF) стандартного нормального распределения.

Матрица $\Omega$ неизвестна и используется её состоятельная оценка:

${\hat {\Omega }}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\varphi ^{2}(x_{t}^{T}b)}{\Phi (x_{t}^{T}b)(1-\Phi (x_{t}^{T}b))}}x_{t}x_{t}^{T}{\bigg ]}$

Обычно оценка модели производится в специализированных (статистических, эконометрических) программных продуктах, например, Statistica, EViews, Matrixer, R, SPSS и др., хотя возможна «ручная» оценка, например в MS Office Excel, используя встроенный «Поиск решения» для максимизации логарифмической функции правдоподобия.

Показатели качества и тестирование модели

Для оценки качества построенной пробит-регрессии применяются стандартные для моделей бинарного выбора статистики:

• Статистика отношения правдоподобия ($LR$).

• Псевдо-коэффициент детерминации ($R_{pseudo}^{2})$

• Коэффициент детерминации МакФаддена (индекс отношения правдоподобия)($R_{McFadden}^{2},LRI$)

• Информационные критерии Акаике, Шварца, Ханнана-Куинна ($AIC,BIC(SC),HQ$).

• Статистика Хосмера-Лемешоу (Hosmer-Lemeshow, $HL$).

• Статистика Эндрюса (Andrews)

Важное значение имеет анализ доли правильных прогнозов. В частности анализируется доля правильных и (или) неправильных прогнозов для значения каждого из значений зависимой переменной (0 и 1).

Примеры

Токсикология

Рассмотрим пробит-модель на примере действия инсектицида на насекомых. Зависимой бинарной переменной является переменная, принимающая значение 1, если данное насекомое погибло, и 0 в противном случае. В выборке $n$ насекомых реакция на инсектицид одних насекомых не зависит от реакции других. В качестве фактора модели выступает «измеритель» дозы $x=\lg(d)$, где $d$-доза инсектицида. Вероятность того, что случайно отобранное из совокупности насекомое погибнет за данное время, равна

$p(x)=\Phi (\alpha +\beta x)$.

Если параметры модели $\alpha$ и $\beta$ известны (обозначим оценки $a$ и $b$ соответственно), то уровень дозы $x_{p}$, при котором погибает некоторый процент насекомых, находится из уравнения

$a+bx_{p}=\Phi ^{-1}(p)=q_{p}\Rightarrow x_{p}=(q_{p}-a)/b$,

где $q_{p}$ — квантиль уровня $p$ стандартного нормального распределения.

В частности, для уровня дозы $x_{50}$, при которой погибает 50 % насекомых, $\lg d_{50}=x_{50}=-a/b\Rightarrow d_{50}=10^{-a/b}$. Эту величину в токсикологии принято обозначать ЛД₅₀.

Можно также построить приблизительный доверительный интервал для $x_{p}$ следующим образом: $x_{p}\pm 2\sigma _{x_{p}}$. Дисперсию $\sigma _{x_{p}}^{2}$ можно оценить приблизительно следующим образом:

$\sigma _{x_{p}}^{2}=(\sigma _{a}^{2}+2x_{p}\sigma _{ab}+x_{p}^{2}\sigma _{b}^{2})/b^{2}$,

где $\sigma _{a}^{2},\sigma _{b}^{2}$ — оценка дисперсии оценок параметров модели, $\sigma _{ab}$ — оценка ковариации между оценками параметров.

Более точный доверительный интервал можно оценить исходя теоремы Феллера, в соответствии с которой 95%-е доверительные границы для $x_{p}$ являются корнями $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$ квадратного уравнения

$\lambda ^{2}(b^{2}-t^{2}\sigma _{b}^{2})-2\lambda (b^{2}x_{p}+t^{2}\sigma _{ab})+(b^{2}x_{p}^{2}-t^{2}\sigma _{a}^{2})=0$,

где $t=t_{95}$ — 95%-я точка распределения Стьюдента.

Вариации и обобщения

На практике встречаются ситуации, когда необходимо исследовать не две альтернативы, а несколько альтернатив. Если эти альтернативы неупорядоченные, то говорят о множественной (multinominal) пробит-модели. В случае упорядоченных альтернатив (например, 5-балльная оценка качества услуги или товара) говорят о порядковой или упорядоченной (ordered) пробит-модели.

См. также

• Модель бинарного выбора
• Логистическая регрессия
• Модель упорядоченного выбора
• Цензурированная регрессия

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0..

• Носко В.П. Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы). – М.: ИЭПП, 2005. С. 379.