Процесс с независимыми приращениями

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение

Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\in T}$, где $T\subset [0,+\infty )$ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых $t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ таких, что $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}$, случайные величины :$X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ независимы.

Замечание

• Пусть $T=\mathbb {N} \cup \{0\}$. Положим $Y_{n}=X_{n}-X_{n-1},\;n\in \mathbb {N}$. Тогда

$X_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}$,

и $\{Y_{n}\}_{n\geq 1}$ — независимые случайные величины.

Свойства

• Пусть $\{X_{t}\}_{t\in T}$ — случайный процесс, а $\phi _{X_{t}-X_{r}}$ — характеристическая функция случайной величины $X_{t}-X_{r}$, где $t>r$. Тогда $\{X_{t}\}$ — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых $0\leq r<s<t<\infty$ и $u\in \mathbb {R}$ выполняется равенство:

$\phi _{X_{t}-X_{r}}(u)=\phi _{X_{s}-X_{r}}(u)\cdot \phi _{X_{t}-X_{s}}(u)$.

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.