Расслоённое произведение

Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: $X\to Z\leftarrow Y.$ Расслоённое произведение часто обозначают как $X\times _{Z}Y.$

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство

Пусть в категории $C$ дана пара морфизмов $f:X\to Z$ и $g:Y\to Z.$ Расслоённое произведение $X$ и $Y$ над $Z$ — это объект $P=X\times _{Z}Y$ вместе с морфизмами $p_{1},p_{2},$ для которых следующая диаграмма коммутативна:

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта $Q,$ с парой морфизмов $q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$ дополняющих пару $(f,g)$ до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм $u\colon Q\to P,$ такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами $f,g,p_{1},p_{2}$ называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов $f$ и $g.$

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

Примеры

В категории множеств расслоённое произведение множеств $X$ и $Y$ с отображениями $f:X\to Z$ и $g:Y\to Z$ — это множество

$X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}$

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в $\mathbf {Set}$ можно описывать двумя асимметричными способами:

$X\times _{Z}Y$

$\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]$

$\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],$

где $\coprod$ — дизъюнктное объединение множеств.

См. также

• Индуцированное расслоение

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Фейс К. Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. — Willey & Sons, 1990. — P. 524. — ISBN 0-471-60922-6.