Расстояние городских кварталов

Расстояние городских кварталов — метрика, введённая Германом Минковским. Согласно этой метрике, расстояние между двумя точками равно сумме модулей разностей их координат.

В метрике городских кварталов длины красной, жёлтой и синей линий равны между собой (12). В геометрии Евклида зелёная линия имеет длину 6√2 ≈ 8,49 и представляет собой единственный кратчайший путь.

У этой метрики много имён. Расстояние городских кварталов также известно как манхэттенское расстояние, метрика прямоугольного города, метрика L1 или норма $\ell _{1}$ (см. пространство L^p), метрика городского квартала, метрика такси, метрика Манхэттена, прямоугольная метрика, метрика прямого угла; на $\mathbb {Z} ^{2}$ её называют метрикой гриды и 4-метрикой.

Название «манхэттенское расстояние» связано с уличной планировкой Манхэттена.

Окружности в дискретной и непрерывной геометрии городских кварталов

Формальное определение

Расстояние городских кварталов $d_{1}$ между двумя векторами $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ в n-мерном вещественном векторном пространстве с заданной системой координат — сумма длин проекций отрезка между точками на оси координат. Более формально,

$d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|,$

где

$\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ и $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ — векторы.

Например, на плоскости расстояние городских кварталов между $(p_{1},p_{2})$ и $(q_{1},q_{2})$ равно $|p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|.$

Свойства

Манхэттенское расстояние зависит от вращения системы координат, но не зависит от отражения относительно оси координат или переноса. В геометрии, основанной на манхэттенском расстоянии, выполняются все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы о конгруэнтных треугольниках.

Для трёхмерного пространства, шар в этой метрике имеет форму октаэдра, вершины которого лежат на осях координат.

Примеры

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Манхэттенское расстояние между двумя полями шахматной доски равно минимальному количеству ходов, которое необходимо визирю, чтобы перейти из одного поля в другое.

Расстояния в шахматах

Расстояние между полями шахматной доски для визиря (или ладьи, если расстояние считать в полях) равно манхэттенскому расстоянию; король пользуется расстоянием Чебышёва, а слон — манхэттенским расстоянием на доске, повёрнутой на 45°.

Пятнашки

Сумма манхэттенских расстояний между костяшками и позициями, в которых они находятся в решённой головоломке «Пятнашки», используется в качестве эвристической функции для поиска оптимального решения.

Клеточные автоматы

Множество клеток на двумерном квадратном паркете, манхэттенское расстояние до которых от данной клетки не превышает r, называется окрестностью фон Неймана диапазона (радиуса) r.

См. также

• Нормированное векторное пространство
• Метрика
• Расстояние Хэмминга
• Расстояние Чебышёва
• Французская железнодорожная метрика
• Игра в 15
• Случайное блуждание
• Матрица расстояний

Литература

• Eugene F. Krause. Taxicab Geometry (неопр.). — Dover, 1987. — ISBN 0-486-25202-7.

Ссылки

• city-block metric Архивная копия от 1 июля 2007 на Wayback Machine on PlanetMath
• Weisstein, Eric W. Taxicab Metric (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Manhattan distance. Paul E. Black, Dictionary of Algorithms and Data Structures, NIST
• Taxi! — AMS column about Taxicab geometry
• TaxicabGeometry.net — a website dedicated to taxicab geometry research and information