Релятивистская механика

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы править

Область применения релятивистской механики

В классической механике пространственные координаты и время являются независимыми (при отсутствии гомоных связей, зависящих от времени), время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта, и действуют преобразования Галилея. В релятивистской же механике события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса — являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике править

Сила определяется как

{\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}.

Также известно выражение для релятивистского импульса:

{\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}),

где введены обозначения: ${\vec {\beta }}\equiv {\frac {\vec {v}}{c}}$ и $\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ .

В результате выражение для силы приобретает вид:

{\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике править

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия

S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,

где $\alpha$ -положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО)

ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.

Подставляя в интеграл движения, находим

S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.

Но, с другой стороны, интеграл движения можно выразить через функцию Лагранжа

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.

Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть

{\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Далее, разложим последнее выражение по степеням ${\frac {v}{c}}$ , получим

{\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}}.

Первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: ${\frac {mv^{2}}{2}}$ , нетрудно определить константу $\alpha$