Риманова поверхность

Ри́манова пове́рхность — математический объект, традиционное в комплексном анализе название одномерного комплексного дифференцируемого многообразия.

Риманова поверхность для функции $f(z)={\sqrt {z}}$

$f(z)=\log z$

$f(z)=\arcsin z$

Примерами римановых поверхностей являются комплексная плоскость и сфера Римана. Поверхность Римана позволяет геометрически представить многозначные функции комплексного переменного таким образом, что каждой её точке соответствует одно значение многозначной функции, причём при непрерывном перемещении по поверхности непрерывно изменяется и функция. Каноническим видом поверхности Римана является представление в виде плоской лепёшки с некоторым количеством дыр.

Топологической характеристикой римановой поверхности является род; поверхность рода $g=0$ — это сфера, поверхность рода $g=1$ — тор.

История

Поверхности такого рода систематически изучать начал Бернхард Риман (1826—1866).

По мнению Феликса Клейна, идея римановой поверхности принадлежит еще Галуа: в предсмертном письме он упоминает среди своих достижений какие-то исследования по «двусмысленности функций» (фр. ambiguïté des functions).

См. также

• Модули римановой поверхности
• Конформное отображение
• Теорема об униформизации

Литература

• Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.—Л.: Гостехтеориздат, 1941. — 400 с.

• Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. — М., 1967.