Симплициальный комплекс

Не следует путать с алгебраическим понятием «цепной комплекс».

Симплициальный компле́кс, или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Трёхмерный геометрический комплекс.

Триангуляция полнотория.

Определения

Симплициальный комплекс

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплекс

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

• с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
• любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
• у любой точки $x$ комплекса есть окрестность $U$ такая, что если $U$ пересекается с симплексом комплекса $\Delta$, то $x\in \Delta$.

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:

• любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплекс

Абстрактный комплекс — это множество $V$ с выделенным набором его конечных подмножеств $S$ таких, что если $X\in S$ и $Y\subset X,$ то $Y\in S$.

При этом элементы множества $V$ называются вершинами комплекса, а элементы множества $S$ называются его симплексами.

Связанные определения

• n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
• Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.

• Замыкание $S$ (обозначается ${\textrm {Cl}}S$) есть наименьший подкомплекс в $K$, содержащий каждый симплекс из $S$. Замыкание ${\bar {S}}$ может быть получено путём добавления к $S$ всех граней всех симплексов из $S$.

• 
  Два симплекса и их замыкание.

• Звезда от $S$ (обозначается ${\textrm {St}}S$) — объединение звёзд всех симплексов в $S$. Для одного симплекса $S$ звезда $S$ — это набор симплексов, имеющих $S$ своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).

• 
  Вершина и её звезда
• 
  Вершина и её линк

• Линк $S$ (обозначается ${\textrm {Lk}}S$) может быть определён как

  ${\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).$

Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из $S,$ но не имеющие граней из $S$.

См. также

• Псевдомногообразие

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)