Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция $f(z)$ комплексных переменных $z=(z_{1},\dots ,z_{n})$ ограничена, то есть

$|f(z)|\leqslant M<\infty ,$

то $f(z)$ есть константа.

Обобщения

• Если $f(z)$ ― целая функция в $\mathbb {C} ^{n}$, и для некоторого $r\in \mathbb {R}$

$|f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r}),$

то $f(z)$ есть многочлен по переменным $(z_{1},\dots ,z_{n})$ степени не выше $r$.

• Если $u(x)$ ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$,

$u(x)<C(1+|x|^{r}),$

то $u(x)$ есть гармонический многочлен по переменным.

История

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 году Коши для случая $n=1$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847 году, откуда и произошло название.

Доказательство (для одномерного случая)

Пусть функция $f(z)$, $z\in {\mathbb {C} }$, ограничена на комплексной плоскости, то есть

$\exists M\,\forall z\,|f(z)|\leqslant M.$

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной $f(z)$:

$f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}\,d\xi ,$

где $C_{R}$ — окружность радиуса $R$, содержащая точку $z$, или $|\xi -z|=R$.

Имеем

$|f'(z)|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{R}}.$

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем $\lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0$, а значит $f'(z)=0$ и, следовательно, $f(z)$ является константой. Теорема доказана.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.