Теорема о запрете клонирования

Эта статья — о запрете клонирования в квантовой механике. О запрете клонирования человека см. Клонирование человека#Законодательство о клонировании человека.

Теоре́ма о запре́те клони́рования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть запутанным с состоянием другой системы. Например, создать запутанное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы A, которая находится в состоянии $|\psi \rangle _{A}$ (см. обозначения Дирака). Для этого возьмем систему B с тем же самым гильбертовым пространством, находящуюся в начальном состоянии $|e\rangle _{B}$. Начальное состояние, конечно, не должно зависеть от состояния $|\psi \rangle _{A}$, поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система A + B описывается тензорным произведением состояний подсистем:

$|\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.$

С составной системой можно произвести два различных действия.

1. Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и к (частичной) потере информации об исходном состоянии системы A. Очевидно, такой сценарий нам не подходит.
2. Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования U, должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор U будет клонировать состояние системы, если

$U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}$

и $U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}$

для всех $|\phi \rangle$ и $|\psi \rangle .$

Согласно определению унитарного оператора, U сохраняет скалярное произведение:

$\langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},$

то есть

$\langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.$

Из этого следует, что либо $|\phi \rangle =|\psi \rangle ,$ либо состояния $|\phi \rangle$ и $|\psi \rangle$ ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция U не может клонировать произвольное квантовое состояние.

Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.

См. также

• Квантовая телепортация
• Квантовая запутанность
• Квантовый компьютер
• Квантовая криптография
• Квантовые деньги

Литература

• Wootters W., Zurek W. H. A Single Quantum Cannot be Cloned (англ.) // Nature / M. Skipper — NPG, Springer Science+Business Media, 1982. — Vol. 299. — P. 802—803. — ISSN 1476-4687; 0028-0836 — doi:10.1038/299802A0
• Dieks D. Communication by EPR devices (англ.) // Physics Letters A — Elsevier BV, 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271—272. — ISSN 0375-9601; 1873-2429 — doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6
• V B. V., M H. Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem., Quantum cloning (англ.): Beyond the No-Cloning Theorem // Physical Review A: covering atomic, molecular, and optical physics and quantum information — College Park: American Physical Society, 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 1844—1852. — ISSN 2469-9926; 2469-9934; 2469-9942 — doi:10.1103/PHYSREVA.54.1844 — PMID:9913670 — arXiv:quant-ph/9607018
• Scarani V., Iblisdir S., Gisin N., Acín A. Quantum cloning (англ.) // Reviews of Modern Physics / G. D. Sprouse, P. Meystre — APS, 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225—1256. — ISSN 0034-6861; 1539-0756; 1538-4527 — doi:10.1103/REVMODPHYS.77.1225 — arXiv:quant-ph/0511088
• Бауместер, Д. Физика квантовой информации  / Д. Бауместер, А. Экерт, А. Цайлингер. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Нильсен, М. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. Нильсен, И. Чанг. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл, Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 2008. — Т. 1. — 464 с. — ISBN 978-5-93972-651-1.