Торическое многообразие

Торическое многообразие — алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор в качестве открытого плотного подмножества, так что действие тора на себе умножением слева продолжается до действия на всём многообразии. Если многообразие является комплексным, то алгебраический тор — это $(\mathbb {C} ^{*})^{n}$. Обычно торические многообразия предполагают нормальными. Существует также параллельная теория, в которой вместо алгебраических многообразий используются симплектические.

Торическое многообразие можно построить по вееру, причём все нормальные торические многообразия получаются таким образом. Эта конструкция не элементарна в том смысле, что требует понятие спектра кольца. Другой конструкцией является конструкция проективного торического многообразия по подходящему выпуклому многограннику, которая может быть сформулирована без привлечения понятий схемной алгебраической геометрии.

Конструкция по вееру

Аффинный случай

Пусть $T$ — $n$-мерный тор,

$N={\textrm {Hom}}(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}$

— свободная абелева группа, называемая решёткой однопараметрических подгрупп, а

$M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )\cong {\textrm {Hom}}(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}$

— двойственная абелева группа, называемая решёткой мономов. Предположим, что в векторном пространстве $N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ задан конус $\sigma$, который является строго выпуклым (то есть не содержит одновременно ненулевых векторов $v$ и $(-v)$) и порождён конечным числом рациональных векторов (векторов из $N_{\mathbb {Q} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$) как выпуклый конус. Возьмём двойственный конус $\sigma ^{*}$, лежащий в двойственном пространстве $M_{\mathbb {R} }$, и пересечём с решёткой $M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )$. Элементы этой решётки можно рассматривать как мономы из алгебры $\mathbb {C} [T]$, получив таким образом подалгебру $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$. Аффинным торическим многообразием $X_{\sigma }$, соответствующим конусу $\sigma$, называется спектр этой алгебры.

При этом действие тора $T$ на себе умножением продолжается на $X_{\sigma }$ благодаря тому, что алгебра $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ порождена мономами. Из-за строгой выпуклости конуса отображение $T\to X_{\sigma }$, двойственное к вложению $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\to \mathbb {C} [T]$, является открытым вложением. Поскольку конус порождён конечным числом рациональных векторов, Лемма Гордана утверждает, что алгебра $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ конечно-порождена, то есть её спектр является многообразием.

Склейка

Необходимость перехода к двойственному конусу объясняется тем, что тогда становится возможным склейка конусов в веер.

Литература

• David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toric varieties (неопр.). — American Mathematical Soc., 2011. — С. 841. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 9780821848197. Архивная копия от 12 ноября 2014 на Wayback Machine
• Michèle Audin, Ana Cannas da Silva, Eugene Lerman. Symplectic Geometry of Integrable Hamiltonian Systems (англ.). — Birkhäuser, 2012. — P. 226. — ISBN 9783034880718.
• Г. Ю. Панина. Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию.