Точка Жергонна

Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности.

Точка Жергонна
Треугольник ΔABC, с вписанной окружностью (синяя), центром вписанной окружности I, красный треугольник построенный по точкам касания Ta,Tb и Tc и точка Жергонна (зелёная, Ge)
Барицентрические координаты	${\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}$
Трилинейные координаты	${\frac {bc}{-a+b+c}}:{\frac {ac}{a-b+c}}:{\frac {ab}{a+b-c}}$
Код ЭЦТ	X(7)
Связанные точки
Изотомически сопряженная	точка Нагеля
Дополнительная	миттенпункт

Обычно обозначается $Ge$, $G$, $J$ или $K$.

Свойства

• Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
• Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
• Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

• Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

$L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2}}}$

• Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.
• Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Треугольник Жергонна

Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим T_A, T_B и T_C. Точка T_A лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Свойства

• Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
• Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.

См. также

• Замечательные точки треугольника
• Вневписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Описанная окружность
• Точка Нагеля

История

Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века.