Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел[1].

Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)

История править

 
Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи[en] к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году[2] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»[3], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих предшественников.

Обозначения и свойства править

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются   или   и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»[1].

  • Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
  • В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
    • первое и последнее числа равны 1;
    • второе и предпоследнее числа равны n;
    • третье число равно треугольному числу  , что также равно сумме номеров предшествующих строк;
    • четвёртое число является тетраэдрическим;
    • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту  .
  • Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть nчисло Фибоначчи:
     
  • Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
  • Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна  .
  • Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом[4] (следствие теоремы Люка).
  • Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
  • Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты править

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер[5]

См. также править

Примечания править

  1. 1 2 Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  2. О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109. Архивировано 29 октября 2013 года.
  3. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10. Архивировано 21 апреля 2010 года.
  4. Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  5. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Литература править

Ссылки править