Формула Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка

В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна ${\text{В}}+{\dfrac {\text{Г}}{2}}-1$, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения

Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.

• Если все грани целочисленного многогранника $M$ центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле

  $V(M)={\tfrac {1}{4\pi }}\cdot \sum _{v}\alpha (v),$

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам $v\in M$ и $\alpha (v)$ телесный угол $M$ при $v$; если $v$ лежит внутри $M$, то считается что $\alpha (v)=4\cdot \pi$.

• Аналогичное утверждение верно и в $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb {E} ^{n}$

$V(M)={\tfrac {1}{\omega _{n}}}\cdot \sum _{v}\alpha (v),$

где $\omega _{n}$ обозначает площадь единичной сферы в $\mathbb {E} ^{n}$.

Литература

• В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
• А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.