Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера ) — общее название для специальных функций , являющихся решениями дифференциальных уравнений , получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики , таких как уравнение Лапласа , уравнение Пуассона , уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра .
В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения
d
2
f
d
z
2
+
(
a
z
2
+
b
z
+
c
)
f
=
0.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)}
График функций Вебера с положительным целым индексом При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:
d
2
f
d
z
2
+
(
ν
+
1
2
−
z
2
4
)
f
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac {1}{2}}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f=0,}
решения которого называются функциями Вебера и обозначаются
D
ν
(
z
)
.
{\displaystyle D_{\nu }(z).}
Функции
D
ν
(
z
)
,
D
ν
(
−
z
)
,
D
−
ν
−
1
(
i
z
)
,
D
−
ν
−
1
(
−
i
z
)
{\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)}
ν
{\displaystyle \nu }
D
ν
(
z
)
,
D
ν
(
−
z
)
{\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)}
ν
{\displaystyle \nu }
D
ν
(
z
)
,
D
−
ν
−
1
(
±
i
z
)
{\displaystyle D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)}
График функций Эрмита с положительным индексом График функций Эрмита с отрицательным целым индексом На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита , являющихся решениями уравнения Эрмита , которое получается из
(
1
)
{\displaystyle (1)}
f
(
α
z
+
β
)
=
e
−
z
2
y
(
z
)
{\displaystyle f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)}
d
2
y
d
z
2
−
2
z
d
y
d
z
+
2
ν
y
=
0.
(
2
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)}
Функции Эрмита обозначаются
H
ν
(
z
)
.
{\displaystyle H_{\nu }(z).}
(
2
)
:
{\displaystyle (2):}
y
(
z
)
=
c
1
H
ν
(
z
)
+
c
2
Φ
(
−
ν
2
;
1
2
;
z
2
)
,
{\displaystyle y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2}};{\frac {1}{2}};z^{2}\right),}
где
Φ
(
α
;
β
;
z
)
{\displaystyle \Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)}
вырожденная гипергеометрическая функция .
При целом неотрицательном
ν
{\displaystyle \nu }
полиномом Эрмита . При целом отрицательном
ν
{\displaystyle \nu }
функцию ошибок .
Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
править
Рекуррентные соотношения
править
D
ν
(
z
)
=
Γ
(
ν
+
1
)
2
π
(
e
1
2
ν
π
i
D
−
ν
−
1
(
i
z
)
+
e
−
1
2
ν
π
i
D
−
ν
−
1
(
−
i
z
)
)
{\displaystyle D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz)\right)}
D
ν
(
z
)
=
z
D
ν
−
1
(
z
)
−
(
ν
−
1
)
D
ν
−
2
(
z
)
{\displaystyle D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)}
H
ν
(
z
)
=
2
z
H
ν
−
1
(
z
)
−
2
(
ν
−
1
)
H
ν
−
2
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)}
H
ν
(
z
)
=
2
z
2
(
ν
+
1
)
H
ν
+
1
(
z
)
−
1
2
(
ν
+
1
)
H
ν
+
2
(
z
)
{\displaystyle H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)}}H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)}}H_{\nu +2}(z)}
2
ν
H
ν
−
1
(
z
)
+
H
ν
+
1
(
z
)
=
2
z
H
ν
(
z
)
{\displaystyle 2\nu ~H_{\nu -1}(z)+H_{\nu +1}(z)=2zH_{\nu }(z)}
Формулы дифференцирования
править
d
d
z
D
ν
(
z
)
=
−
1
2
z
D
ν
(
z
)
+
ν
D
ν
−
1
(
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{\nu -1}(z)}
d
d
z
H
ν
(
z
)
=
2
ν
H
ν
−
1
(
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)}
d
d
z
H
ν
(
z
)
−
2
z
H
ν
(
z
)
=
−
H
ν
+
1
(
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{\nu +1}(z)}
d
d
z
[
e
−
z
2
H
ν
(
z
)
]
=
−
e
−
z
2
H
ν
+
1
(
z
)
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{-z^{2}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{-z^{2}}H_{\nu +1}(z)}
Интегральные представления
править
Асимптотическое поведение
править
Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2 H.F. Weber , "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
k
2
u
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+k^{2}u=0}
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{-z^{2}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{-z^{2}}H_{\nu +1}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c53f6e812aaee7291bc4712ddb21b39856b882)
