Открыть главное меню

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство  . Параметризованное семейство   случайных величин

 ,

где   произвольное множество, называется случайной функцией.

Одномерным случайным процессом  , протекающим во времени  , называется процесс, значение которого при любом фиксированном   является случайной величиной  [1].

ТерминологияПравить

  • Если  , то параметр   может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция   называется случайным процессом. Если множество   дискретно, например  , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если  , где  , то параметр   может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

КлассификацияПравить

  • Случайный процесс   называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени  , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени  , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом[2].
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора  , где  , а  , случайные величины  ,  ,  ,   независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процессаПравить

Пусть дан случайный процесс  . Тогда для каждого фиксированного     — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход  , то   — детерминированная функция параметра  . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции  .

ПримерыПравить

  •  , где   называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть  , и   — случайная величина. Тогда
 

является случайным процессом.


ПримечанияПравить

  1. Вентцель, 1991, с. 12.
  2. Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

См. такжеПравить

ИсточникиПравить