Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

ОпределениеПравить

Пусть   - измеримое пространство,   множество значений параметра  . Функция   параметра  , значениями которой являются случайные величины   на пространстве элементарных событий   в фазовом пространстве  , называется случайным процессом в фазовом пространстве  .[1]

ТерминологияПравить

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».[источник не указан 42 дня] В зависимости от вида множества   часто применяются следующие термины.

  • Если  , то параметр   может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция   называется случайным процессом. Если множество   дискретно, например  , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если  , где  , то параметр   может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведенияПравить

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений  :

 

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса  .
Случайные процессы   и  , принимающие значение в фазовом пространстве   называется эквивалентными, если при любом   эквивалентны соответствующие значения   и  .

При каждом фиксированном   функция   параметра   со значениями в фазовом пространстве   называется реализацией или траекто́рией случайного процесса  . Случайный процесс   называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией   в функциональном пространстве   всех функций на множестве   со значениями в фазовом пространстве   ; точнее, если   и   - алгебра   порождается всевозможными цилиндрическими множествами  , где   и  , а значения   имеют вид  ,  . Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей   (  таких, что  , являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве  , существует непосредственно заданный случайный процесс   с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть   действительный или комплексный случайный процесс на множестве  , имеющий вторые моменты:  . Значения случайного процесса   можно рассматривать как элементы гильбертова пространства   — пространства всех случайных величин  ,  , со скалярным произведением

 .

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса   являются его математическое ожидание

 

и ковариационная функция

 .

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция  , являющуюся ковариационной функцией процесса   с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ( ) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

 .

Функция   двух переменных   и   является ковариационной функцией некоторого случайного процесса  ,  , тогда и только тогда, когда она для всех   удовлетворяет следующему условию положительной определенности:

 

для любых   и любых комплексных чисел  .

КлассификацияПравить

  • Случайный процесс   называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени  , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени  , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом[2].
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора  , где  , а  , случайные величины  ,  ,  ,   независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

ПримерыПравить

  •  , где   называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть  , и   — случайная величина. Тогда
 

является случайным процессом.


ПримечанияПравить

  1. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.
  2. Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить