Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению . Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется собственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования — спектром матрицы или преобразования.

Содержание

ОпределенияПравить

Пусть  линейное пространство над полем  ,  линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого  

 

Собственным значением линейного преобразования   называется такое число  , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение   имеет ненулевое решение  .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор  , который отображается оператором в коллинеарный  , а соответствующий скаляр   называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

 

где   — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования   для данного собственного значения   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого натурального числа  

 

Если   является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть  ), то   называется высотой корневого вектора  .

Корневым подпространством линейного преобразования   для данного собственного числа   называется множество всех корневых векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его  . По определению,

 

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространствПравить

Общий случайПравить

Подпространство   называется инвариантным подпространством линейного преобразования   ( -инвариантным подпространством), если

 .
  • Собственные подпространства  , корневые подпространства   и подпространства   линейного оператора   являются  -инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1):  ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
 
 , и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но   имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
  если  .
  • Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт теорема Куранта — Фишера.

Конечномерные линейные пространстваПравить

Выбрав базис в  -мерном линейном пространстве  , можно сопоставить линейному преобразованию   квадратную   матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

 .
  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в  . Его коэффициенты являются инвариантами оператора  . В частности,  ,   не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица   в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
  • Для положительно определённой симметричной матрицы   процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является не чем иным, как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение   линейных множителей

 
где   — собственные значения; некоторые из   могут быть равны. Кратность собственного значения   — это число множителей равных   в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).
  • Размерность корневого пространства   равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство   разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):
 
где суммирование производится по всем   — собственным числам  .
  • Геометрическая кратность собственного значения   — это размерность соответствующего собственного подпространства  ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку  

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторыПравить

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор  , коммутирующий со своим сопряжённым  :

 .

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы ( ), антиэрмитовы операторы ( ) и унитарные операторы ( ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора  , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если  ,   и  , то  . (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности  .
  • В конечномерном случае сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора  , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
 
где суммирование производится по всем   — собственным числам  , а   взаимно ортогональны для различных  .
  • Последнее свойство для нормального оператора над   является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицыПравить

Квадратная вещественная   матрица   называется положительной, если все её элементы положительны:  .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона — Фробениуса): Положительная квадратная матрица   имеет положительное собственное значение  , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению   соответствует собственный вектор  , все координаты которого строго положительны. Вектор   — единственный собственный вектор   (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор   может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор   с положительными координатами. Положим:

 

Последовательность   сходится к нормированному собственному вектору  .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Неравенства для собственных значенийПравить

  • Неравенство Шура Пусть   — собственные значения матрицы  . Тогда
 ,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда  нормальная матрица[1].
  • Пусть   — собственные значения матрицы  , где матрицы   эрмитовы. Тогда
  и  [2]
  • Пусть   — эрмитовы матрицы,  . Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания:  . Тогда   при   и   при  [2]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить