Соответствие Галуа

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка[⇨].

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойства[1]. Изначальное определение — антимонотонное[⇨], впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определение[⇨].

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Антимонотонное соответствие ГалуаПравить

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций   и   между частично-упорядоченными множествами   и  , удовлетворяющая следующими соотношениям:

  • если  , то   (антимонотонность  ),
  • если  , то   (антимонотонность  ),
  •   (экстенсивность  ),
  •   (экстенсивность  ).

Композиции   и   оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности (  и  ), таким образом, являются замыканиями на   и   соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций   и   следующему условию (Юрген Шмидт[de], 1953[2][3]):   тогда и только тогда, когда  .

По аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностями[4].

Монотонное соответствие ГалуаПравить

Монотонные функции   и   находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

  •  ,
  •  .

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта:   тогда и только тогда, когда  , часто оно принимается за начальное определение[5].

В случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторы[⇨]. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении —  , и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева ( ). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция  , при этом композиция   замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным оператором[6] или козамыканием).

Сопряжённые функторыПравить

Всякое частично-упорядоченное множество   может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов   множество морфизмов   состоит из единственного морфизма, если   и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств   и  , отображения   и  , находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения   и   (  — категория, двойственная  , то есть, полученная обращением морфизмов)[7].

СвойстваПравить

Композиция соответствийПравить

Соответствие Галуа, как в антимонотонной, так и в монотонной форме, может быть подвергнуто операции композиции — если заданы находящиеся в соответствии Галуа пары отображений   и  , то композиция:

 

вновь является соответствием Галуа.

ПримерыПравить

Теория Галуа и обобщенияПравить

В теории Галуа устанавливается соответствие между системой промежуточных подполей алгебраического расширения поля   и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.

Пример из теории Галуа может быть естественно обобщен: вместо группы автоморфизмов поля можно рассматривать произвольную группу  , действующую на множестве   отображением  , и отображения между упорядоченными по включению булеанами   и  . В этом случае отображения   и  , определяемые следующим образом:

  (выделяет подгруппу в  , оставляющую на месте все точки   при действии  ),
  (сопоставляет множеству   множество неподвижных точек автоморфизмов при действии  )

находятся в антимонотонном соответствии Галуа[7].

Следующее обобщение состоит в рассмотрении произвольных множеств, между которыми задано произвольное бинарное отношение   и отображений между булеанами этих множеств   и  , определяемых таким образом:

 ,
 .

В этом случае   и   также находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Булеан и обобщенияПравить

C упорядоченным по включению булеаном произвольного множества   и с некоторым зафиксированным его подмножеством   может быть связано монотонное соответствие Галуа между отображениями  , задаваемыми следующим образом:

 ,
 .

Такое соотношение может быть установлено в любой алгебре Гейтинга[en], в частности, во всякой булевой алгебре (в булевых алгебрах в терминах алгебры логики роль верхней сопряжённой функции играет конъюнкция, а нижней сопряжённой — материальная импликация).

Полные решёткиПравить

ПриложенияПравить

ПримечанияПравить

  1. Гретцер, 1981, с. 78.
  2. J. Schmidt. Beiträge zur Filtertheorie. II (нем.) // Mathematische Nachrichten[de]. — 1953. — Bd. 10, Nr. 53. — S. 197—232.
  3. Биркгоф, 1984, с. 165.
  4. Биркгоф, 1984, с. 163.
  5. Гирц, 2003, p. 22.
  6. Гирц, 2003, p. 26.
  7. 1 2 Маклейн, 2004, с. 114.

ЛитератураПравить

  • Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 567 с.
  • G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott. Galois Connections // Continuous Lattices and Domains. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — С. 22—35. — 629 с. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
  • Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1981. — 456 с.
  • Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.