Открыть главное меню
Геометрическое представление и его сопряжённого на комплексной плоскости

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине противоположными по знаку мнимыми частями[1]. Например, сопряжёнными являются числа и . Число, сопряжённое к числу , обозначается . В общем случае, сопряжённым к числу (где и  — действительные числа) является .

Например:

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид и , что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

СвойстваПравить

Для произвольных комплексных чисел   и  :

  •  ,
  •  
  •   является действительным числом,
  •   для всех целых  ,
  •  ,
  •  ,
  •   (то есть, сопряжения является инволюцией),
  •  , если   не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если   является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены  , то:

 .

В частности:

  •  
  •  , если   не равно нулю.
  • если   — полином с действительными коэффициентами и  , то также  , то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряженияПравить

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

  •  
  •  
  •  
  •   (если   не равно нулю).

ПримечанияПравить

  1. Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить