Сопряжённый оператор

Содержание

Линейная алгебраПравить

Преобразование   называется сопряженным линейному преобразованию  , если для любых векторов   и   выполнено равенство  . У каждого преобразования существует единственное сопряженное преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой  , если пространство евклидово, и формулой   в унитарном пространстве.   здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают, соответственно, вид   и  .

Общее линейное пространствоПравить

Пусть   — линейные пространства, а   — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на  ). Тогда для любого линейного оператора   и любого линейного функционала   определён линейный функционал   — суперпозиция   и  :  . Отображение   называется сопряженным линейным оператором и обозначается  .

Если кратко, то  , где   — действие функционала   на вектор  .

Топологическое линейное пространствоПравить

Пусть   — топологические линейные пространства, а   — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на  ). Для любого непрерывного линейного оператора   и любого непрерывного линейного функционала   определён непрерывный линейный функционал   — суперпозиция   и  :  . Нетрудно проверить, что отображение   линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также  .

Банахово пространствоПравить

Пусть   — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства   в банахово пространство  [1] и пусть   — сопряжённые пространства. Обозначим  . Если   — фиксировано, то   — линейный непрерывный функционал в  . Таким образом, для   определён линейный непрерывный функционал из  , поэтому определён оператор  , такой что  .

  называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определен не на всём пространстве.

Для   справедливы следующие свойства:

  • Оператор   — линейный.
  • Если   — линейный непрерывный оператор, то   также линейный непрерывный оператор.
  • Пусть   — нулевой оператор, а   — единичный оператор. Тогда  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Гильбертово пространствоПравить

В гильбертовом пространстве   теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора   равенство   определяет сопряженный оператор  . Здесь   — скалярное произведение в пространстве  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Пространства   предполагаются комплексными

ЛитератураПравить

  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.
  • Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М.: Вузовская книга, 2000. — 320 с.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
  • Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
  • Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.