Составное число

Составно́е число́натуральное число, имею­щее де­ли­те­ли, отлич­ные от еди­ни­цы и са­мо­го се­бя. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших еди­ни­цы[1]. Все натуральные числа делятся на три непересекающиеся категории: простые, составные и единица[2].

Натуральные числа от нуля до ста. Составные числа отмечены зелёным.

Последовательность составных чисел начинается так:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54 … (последовательность A002808 в OEIS)

Связанные понятияПравить

Каждое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя, которые называются тривиальными: единицу и самого себя. Число является составным, если оно имеет нетривиальные делители.

Составное натуральное число называется:

  • полупростым, если его можно представить в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных);
  • сфеническим, если его можно представить в виде произведения трёх простых чисел (не обязательно различных);
  • полнократным, если его можно представить в виде произведения   где   — натуральные числа. Равносильное определение: число   полнократно, если для любого его простого делителя   число   также является делителем  ;
  • сверхсоставным, если у него больше делителей, чем у любого меньшего числа (два первых сверхсоставных числа не являются составными, это 1 и 2).

СвойстваПравить

Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).

Покажем, что в натуральном ряду можно найти последовательности подряд идущих составных чисел любой длины. Пусть n — произвольное натуральное число. Обозначим:

 

Тогда n последовательных чисел   содержит только составные числа:   делится на 2,   делится на 3 и т. д.

Разложение числа на множителиПравить

Чтобы определить, является ли заданное натуральное число   простым или составным, надо найти его нетривиальные делители или доказать, что таких не существует. В случае небольшого   поиск его делителей — несложная задача, для этого можно использовать признаки делимости[3] или специальные алгоритмы, указанные в статьях Тест простоты и Факторизация целых чисел. Нахождение делителей больших чисел (актуальная задача криптографии) может оказаться проблемой, превышающей возможности современных компьютеров.

Вариации и обобщенияПравить

Понятия простого и составного числа можно определить не только для натуральных чисел, но и для других алгебраических структур; чаще всего рассматривается коммутативные кольца без делителей нуля (области целостности).

Пример 1. Кольцо целых чисел содержит два делителя единицы (обратимых элемента):   и   Поэтому все целые числа, за исключением делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре тривиальных делителя; например, у числа 7 делителями являются   В связи с этим формулировку основной теорему арифметики необходимо скорректировать: любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом, с точностью до порядка множителей и делителей единицы.

Простые целые числа, как и прежде — это те, у которых нет нетривиальных делителей. Таким образом, кольцо целых чисел делится на три непересекающиеся части: простые, составные и делители единицы.

Пример 2. Кольцо гауссовых целых чисел образовано комплексными числами   у которых   — обычные целые числа. Для чисел такого вида можно определить деление нацело по общим правилам. Делителей единицы здесь четыре:  

Простые гауссовы числа — это часть обычных простых чисел и «простые гауссовы» (например,  ). См. критерий простоты гауссова числа. Простое натуральное число может не быть простым гауссовым; например, число 5 как гауссово число является составным:   Основная теорема арифметики формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел[4].

Пример 3. Кольцо многочленов   образовано многочленами с вещественными коэффициентами. Делителями единицы являются здесь ненулевые числовые константы (рассматриваемые как многочлены нулевой степени). Аналогами простых чисел здесь будут все неразложимые (неприводимые) многочлены, то есть многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых нет вещественных корней (то есть их дискриминант отрицателен). Следовательно, аналогом составных чисел выступают многочлены степени больше второй, а также многочлены второй степени с неотрицательным дискриминантом. И здесь основная теорема арифметики имеет место и формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел[5].

ПримечанияПравить

  1. БРЭ, 2004—2017.
  2. Элементарная математика, 1976, с. 20—21.
  3. Элементарная математика, 1976, с. 21—22.
  4. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — С. 147—149. — 187 с.
  5. Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — С. 122—124, 67—68. — 176 с.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить