Соты (геометрия)
В геометрии соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.
Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник[en] можно спроецировать на его описанную сферу[en], что даст однородные соты в сферическом пространстве.

КлассификацияПравить
Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.
Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит тетраэдр Хилла[en] и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.
Однородные трёхмерные сотыПравить
Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников[en] имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве[1], называемых также архимедовыми сотами[en].
Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):
Тип | Кубические соты | Квазиправильные соты |
---|---|---|
Ячейки | Кубические | Октаэдральные и тетраэдральные |
Слой |
Тетраэдрально-октаэдральные соты[en] и повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты[en] состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.
Заполняющие пространство многогранникиПравить
О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о ячеечно-транзитивных[en] или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках[2].
Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками[en]:
- Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
- Шестиугольные призматические соты[en][3];
- Ромбододекаэдральные соты[en];
- Удлинённые додекаэдральные соты[en][4];
- Соты из глубокоусечённых кубов[en][5].
Кубические соты |
Шестиугольные призматические соты[en] |
Ромбододекаэдр[en] |
Удлинённый ромбододекаэдр[en] |
Усечённый октаэдр[en] |
Куб (параллелепипед) |
Шестиугольная призма | Ромбододекаэдр | Удлинённый додекаэдр[en] | Усечённый октаэдр |
---|---|---|---|---|
3 длины рёбер | 3+1 длины рёбер | 4 длины рёбер | 4+1 длины рёбер | 6 длины рёбер |
Другие известные примеры:
- Треугольные призматические соты.
- Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
- Усечённые триакистетраэдральные соты[en]. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид[6].
- Трапецеидально-ромбические додекаэдральные соты[en][7].
- Простые изоэдричечкие мозаики[8].
Другие соты с двумя и более многогранникамиПравить
Иногда два[9] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит структура Уэйра-Фелана[en], заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата[10].
Структура Уэйра-Фелана[en] (с двумя типами ячеек)
Невыпуклые трёхмерные сотыПравить
Документированные примеры редки. Можно различить два класса:
- Невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников. Они включают упаковку[en] малые звёздчатые ромбические додекаэдры[en] как в кубе Ёшимото[en].
- Мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.
Гиперболические сотыПравить
В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.
Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот[en] и много однородных гиперболических сот[en].
Двойственность сот в трёхмерном пространствеПравить
Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:
- ячеек на вершины.
- граней на рёбра.
Для правильных сот:
- Кубические соты самодвойственны.
- Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
- Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
- Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда[11].
Самодвойственные сотыПравить
Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3n−2,4} самодвойственны.
См. такжеПравить
ПримечанияПравить
- ↑ Grünbaum, 1994.
- ↑ Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ [1] Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника
- ↑ [2] Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры
- ↑ [3] Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры
- ↑ Voronoi Polyhedron
- ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001, с. 1843–1850.
- ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005, с. 358—362.
- ↑ Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения 16 мая 2012. Архивировано 30 июня 2015 года. Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.
- ↑ Pauling, 1960.
- ↑ Inchbald, 1997, с. 213–219.
ЛитератураПравить
- H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes[en]. — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
- Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
- K. Critchlow. Order in space. — New York: Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
- Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вып. 4(2).
- P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
- Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вып. 15.
- O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61.
- Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
- G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81, July.
СсылкиПравить
- Glossary For Hyperspace
- Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
- The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
- Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski
Для улучшения этой статьи желательно: |