Софокусные конические сечения

Софокусные конические сечения — в геометрии конические сечения, обладающие одними и теми же фокусами. Поскольку эллипсы и гиперболы обладают двумя фокусами, то существуют софокусные эллипсы и софокусные гиперболы, а также эллипс и гиперболы могут быть софокусными друг другу. В том случае, когда семейство эллипсов софокусно семейству гипербол, каждый эллипс ортогонально пересекает каждую гиперболу. Параболы обладают только одним фокусом, поэтому принять считать софокусными те параболы, которые имеют общий фокус и одну и ту же ось симметрии. Следовательно, любая точка вне оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, пересекающих друг друга под прямым углом.

Пучок софокусных эллипсов и гипербол.

Понятие софокусных конических сечений можно обобщить на трёхмерное пространство, рассматривая софокусные квадрики.

Софокусные эллипсы

Эллипс, не являющийся окружностью, однозначно определяется положением фокусов $F_{1},\;F_{2}$ и точкой вне большой оси. Пучок софокусных эллипсов с фокусами $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$ можно описать уравнением

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c\ ,$

в котором большая полуось $a$ является параметром (фокальное расстояние $c$ однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на эллипсе однозначно задаёт значение $a$, то

• никакие два эллипса в пучке не имеют общих точек.

Софокусные гиперболы

Гипербола однозначно определяется положением фокусов $F_{1},\;F_{2}$ и точкой вне осей симметрии. Пучок софокусных гипербол с фокусами $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$ можно описать уравнением

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ ,\quad 0<a<c\ ,$

в котором большая полуось $a$ является параметром (фокальное расстояние $c$ однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на гиперболе однозначно задаёт значение $a$, то

• никакие две гиперболы в пучке не имеют общих точек.

Софокусные эллипсы и гиперболы

Уравнение

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

описывает эллипс при $c<a$ и гиперболу при $0<a<c$.

В литературе можно найти другой вариант представления:

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

Софокусные эллипсы и гиперболы пересекаются под прямыми углами

где $a,b$ — полуоси данного эллипса (тогда и фокусы $F_{1},\;F_{2}$ заданы) и $\lambda$ является параметром пучка.
При $\lambda <b^{2}$ мы получаем софокусные эллипсы (то есть $a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2}$) и
при $b^{2}<\lambda <a^{2}$ получаем софокусные гиперболы с фокусами $F_{1},\;F_{2}$.

Рассмотрение пучков софокусных эллипсов и гипербол приводит к следующему выводу о касательной и нормали в заданной точке (нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делят пополам угол между направлениями из точки к фокусам):

• каждый эллипс в пучке пересекает каждую гиперболу под прямым углом (см. рисунок).

Таким образом, можно покрыть плоскость ортогональной системой софокусных эллипсов и гипербол. Такую ортогональную сетку можно использовать как основу эллиптической системы координат.

Софокусные параболы

Пучок софокусных парабол

Параболы обладают только одним фокусом. Можно рассматривать параболу как предел пучка софокусных эллипсов или гипербол, у которых один фокус зафиксирован, а второй удаляется на бесконечность. Если подобное рассмотрение провести для софокусных эллипсов и гипербол, можно получить систему из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$ описывает параболу с началом координат в фокусе, при этом ось x является осью симметрии. Рассмотрим два пучка парабол:

• $y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ параболы, бесконечные в правую сторону,

$y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,$ параболы, бесконечные в левую сторону,

фокус $F=(0,0)$ является общим.

Из уравнения параболы следует, что

• параболы, простирающиеся в одну сторону, не имеют общих точек.

Вычисления показывают, что

• любая парабола $y^{2}=2px+p^{2}$, простирающаяся направо, пересекает каждую параболу $y^{2}=-2qx+q^{2}$, простирающуюся налево, ортогонально. Точки пересечения имеют координаты $({\tfrac {q-p}{2}},\pm {\sqrt {pq}})\$.

Векторы (${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}=\left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})$ являются векторами нормали в точках пересечения. Скалярное произведение данных векторов равно нулю.

По аналогии с софокусными эллипсами и гиперболами, плоскость можно покрыть ортогональной сеткой парабол.

Теорема Грейвса о построении софокусных эллипсов

Построение софокусных эллипсов

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью нити:

• если окружить данный эллипс E кольцом из нити, превышающей по длине контур данного эллипса, нарисуем новый эллипс с помощью закреплённых в фокусах "иголок" (см. построение эллипса), при этом новый эллипс будет софокусным с E. Доказательство данного утверждения требует использования эллиптических интегралов. Отто Штауде обобщил данный метод для построения софокусных эллипсоидов.

Если эллипс E представляет собой отрезок $F_{1}F_{2}$, то софокусные ему эллипсы будут обладать фокусами $F_{1},F_{2}$.

Софокусные поверхности второго порядка

Софокусные квадрики:
$a=1,b=0.8,c=0.6,\$
$\lambda _{1}=$ 0.1, $\lambda _{2}=$ 0.5, $\lambda _{3}=$ 0.8

Понятие софокусных поверхностей второго порядка является формальным обобщением понятия софокусных конических сечений на трёхмерное пространство.

Выберем три вещественных числа $a,b,c$ при условии $a>b>c>0$. Уравнение

• ${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1$ описывает

эллипсоид при $\lambda <c^{2}$ ,

однополостный гиперболоид при $c^{2}<\lambda <b^{2}$ (синяя поверхность на рисунке),

двуполостный гиперболоид при $b^{2}<\lambda <a^{2}$ .

При $a^{2}<\lambda$ решений не существует

(В данном контексте параметр $c$ не является фокальным расстоянием эллипсоида).

Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол имеем свойства:

• любая точка $(x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}$ при $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$ лежит только на одной поверхности каждого из трёх видов софокусных квадрик;

три поверхности второго порядка, проходящие через точку $(x_{0},y_{0},z_{0})$, пересекаются ортогонально

Пример функции $f(\lambda )$

Доказательство существования и единственности трёх квадрик, проходящих через данную точку: для точки $(x_{0},y_{0},z_{0})$ при $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$ рассмотрим функцию

$f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1$.

Данная функция имеет три вертикальные асимптоты $c^{2}<b^{2}<a^{2}$ и является непрерывной и монотонно возрастающей во всех интервалах $(-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )$. Анализ поведения функции вблизи вертикальных асимптот и при $\lambda \to \pm \infty$ приводит к выводу о том, что $f$ имеет три корня $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ при ${\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Доказательство ортогональности поверхностей: рассмотрим пучки функций $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ с параметром $\lambda$. Софокусные квадрики можно описать соотношением $F_{\lambda }(x,y,z)=1$. Для любых двух пересекающихся квадрик при $F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1$ в общей точке $(x,y,z)$ выполняется равенство

$0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .$

Отсюда скалярное произведение градиентов в общей точке

$\operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,$

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как линиями пересечения с софокусными гиперболоидами
$a=1,\;b=0.8,\;c=0.6$

Приложения.
По теореме Ш. Дюпена об ортогональных системах поверхностей следующие утверждения является справедливым:

• линия пересечения любых двух софокусных поверхностей второго порядка является линией кривизны;
• по аналогии с эллиптическими координатами можно ввести эллипсоидальные координаты.

В физике софокусные эллипсоиды являются эквипотенциальными поверхностями:

• эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида являются софокусными к данному эллипсоидами.

Теорема Айвори

Теорема Айвори

Теорема Айвори, названная по имени шотландского математика Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях четырёхугольника, образованного ортогональными кривыми.

• В любом четырёхугольнике, образованном двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с теми же фокусами, диагонали имеют равные длины.

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы
Пусть $E(a)$ — эллипс с фокусами $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$, задаваемый уравнением

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0,\$

а $H(u)$ — софокусная гипербола с уравнением

${\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .$

Вычисление точек пересечения $E(a)$ и $H(u)$ даёт координаты четырёх точек

• $\left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right).$

Диагонали четырёхугольника
Для упрощения вычислений предположим, что

• $c=1$, что не является существенным ограничением, поскольку возможно изменение масштаба;
• при выборе знака $\pm$ (см. пункт о точках пересечения) будем рассматривать только $+$. Несложно показать, что выбор другого знака приведёт к тому же результату.

Пусть $E(a_{1}),E(a_{2})$ являются софокусными эллипсами, а $H(u_{1}),H(u_{2})$ являются софокусными гиперболами с теми же фокусами. Диагонали четырёхугольника, образованного точками пересечения с координатами

$P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,$

$P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)$

имеют длины

${\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}$

Последнее выражение является инвариантом по отношению к замене $u_{1}\leftrightarrow u_{2}$. Подобная замена приводит к выражению для длины $|P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}$. Следовательно, имеет место равенство

• $|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложные расчёты.

Айвори также доказал теорему для трёхмерного случая:

• у трёхмерного прямоугольного параллелепипеда, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют равные длины.

Литература

• W. Blaschke: Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954,ISBN 978-3-0348-6813-6, p. 111.
• G. Glaeser,H. Stachel,B. Odehnal: The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, p. 457.
• David Hilbert; Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4
• Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, p. 257.
• A. Robson: An Introduction to Analytical Geometry Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, p. 157.
• D.M.Y. Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions, Cambridge, University Press, 1959, p. 235.

Ссылки

• T. Hofmann: Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48
• B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• H. Walser: Konforme Abbildungen. p. 8.