Спектральная теорема

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам[источник не указан 740 дней].

Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться операторами умножения[en] — простейшими операторами, какие только могут быть. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных -алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случайПравить

Спектральная теорема для Эрмитовых матрицПравить

Для любой эрмитовой матрицы   на конечномерном векторном пространстве   верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы   вещественны;
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства  .

Спектральная теорема для унитарных матрицПравить

Для любой унитарной матрицы   на конечномерном векторном пространстве   верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы   имеют абсолютные величины, равные  ;
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства  .

Нормальные матрицыПравить

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть   является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением.   называют нормальным, если  . Можно доказать, что   является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем  , где   является унитарным оператором, а   — верхнетреугольным. Поскольку   является нормальным, то  . Следовательно,   является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами,   является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица   такая, что  , где   является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями  , а векторы-столбцы матрицы   являются собственными векторами   (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы   не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторовПравить

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема
Пусть   является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве  . Существует ортонормированный базис пространства  , состоящий из собственных векторов оператора  . При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторовПравить

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор   умножения на независимую переменную в пространстве  , то есть  .

Теорема
Пусть   является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве  . Тогда существует пространство с мерой  , вещественнозначная измеримая функция   на   и унитарный оператор   такие, что  , где   является оператором умножения[en], то есть  .

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь   может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор   как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере[en]. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторовПравить

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье[en]).

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). https://www.math.purdue.edu/~eremenko/. Purdue science, Department of Mathematics (26 October 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019.