Архиме́дова спира́ль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см. рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.
Свойства этой спирали описаны древнегреческим учёным Архимедом в его сочинении «О спиралях[англ.]».
Описание
правитьУравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:
- (1)
где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.
Повороту прямой на соответствует смещение a = |BM| = |MA| = . Число a — называется «шагом спирали». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).
Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.
Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали . При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.
Площадь сектора
правитьПлощадь сектора OCM:
- ,
где , , .
При , , , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:
- ,
где — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — .
Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.
Вычисление длины дуги Архимедовой спирали
правитьБесконечно малый отрезок дуги равен (см. рис.3):
- ,
где — приращение радиуса , при приращении угла на . Для бесконечно малого приращения угла справедливо:
- .
Поэтому:
так как и
или
- .
Длина дуги равна интегралу от по в пределах от до :
- .[1]
Трёхмерное обобщение
правитьТрёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.
Примечания
править- ↑ Weisstein, Eric W. Archimedes' Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Ссылки
править- На Викискладе есть медиафайлы по теме Архимедова спираль