Открыть главное меню

Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Содержание

Легенда к спискуПравить

Символ Германа — МогенаПравить

Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

  • P — примитивная;
  • I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
  • F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
  • С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
  • R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

КлассыПравить

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):

  •   — ось симметрии n-го порядка.
  •   — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
  •   — плоскость симметрии.
  •   или   — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
  •   — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
  •   — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
  •   — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
  •   или   (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка,   плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и   осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
  •   (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ ШёнфлисаПравить

  • Сn — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
  • Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
  • Cnv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
  • Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
  • S2, S4, S6 (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.
  • Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
  • Dn — является группой Сn с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.
  • Dnh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
  • Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
  • O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.
  • Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
  • Td — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 группПравить

Номер Класс Число групп Символ Германа-Могена Символ Шёнфлиса Изображение
Триклинная система
1   1    
2   1    
Моноклинная система
3-5   3          
Внешне человек обладает   симметрией.
6-9   4          
10-15   6              
Ромбическая система
16-24   9                      

Рельсы обладают   симметрией.

25 - 46   22                                              
47-74   28                                                          
Тетрагональная система
75-80   6                
  Симметрия.
81-82   2      
83-88   6              
89-98   10                      
99-110   12                          
111-122   12                          
123-142   20                                            
Кристаллическая решётка циркона имеет   симметрию.
Тригональная система
143-146   4            
Молекула боразана обладает   симметрией.
147-148   2      
149-155   7                
156-161   6              
162-167   6              
Гексагональная система
168-173   6                
Пчелиные соты обладают   симметрией.
174   1    
175-176   2      
177-182   6                
Нанотрубка может обладать   симметрией.
183-186   4          
187-190   4          
191-194   4          
Кубическая система
195-199   5              
Структура алмаза имеет   симметрию.
200-206   7                
207-214   8                  
215-220   6              
221-230   10                      

В других размерностяхПравить

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| .. 

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификацияПравить

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить