Открыть главное меню

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1], поскольку среднее геометрическое двух чисел и обладает следующим свойством: , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же как второе число к среднему геометрическому.

Содержание

СвойстваПравить

  • Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
 
  • Среднее геометрическое двух чисел   является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
 

Среднее геометрическое взвешенноеПравить

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел   с вещественными весами   определяется как

 

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрииПравить

 
Среднее геометрическое отрезков:
 

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

ОбобщенияПравить

  • Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных   при  .
  • Среднее геометрическое является средним Колмогорова при  

ПримечанияПравить

  1. «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии
  2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.

См. такжеПравить