Открыть главное меню

Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел определяется как

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием среднее степенное, используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Другие названияПравить

Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаиПравить

Средние степеней 0, ±1, 2 и   имеют собственные имена:

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

  •   называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

  •   называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
  • В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространенными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
  • Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней   и   этих чисел:
 
 

Неравенство о среднихПравить

Неравенство о средних утверждает, что для  

 ,

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов  .

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная   по   неотрицательна и обращается в ноль только при   (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническомПравить

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

 

где каждое из неравенств обращается в равенство только при  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить