Средняя линия

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника править

 
Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этого треугольника[1].

Свойства править

  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомететичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.
  • Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарными)[2]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины. Точнее, часть этой средней линии оказывается её продолжением за пределы треугольника.

Признаки править

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок — средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника править

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства править

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции править

 
Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле:  , где AD и BC — основания трапеции.

Свойства править

  • средняя линия параллельна основаниям
  • средняя линия равна полусумме оснований
  • средняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1] Архивная копия от 12 августа 2017 на Wayback Machine
 

См. также править

Примечания править

  1. Справочник. Треугольники. Дата обращения: 14 апреля 2008. Архивировано из оригинала 20 апреля 2016 года.
  2. Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8