Степень трансцендентности

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

ОпределениеПравить

Пусть   — расширение поля   до поля   Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля   над полем   Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.

Обычно обозначается   или  

ЗамечанияПравить

Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле   нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в   существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.

Связанные понятияПравить

Подмножество   из   называется базисом трансцендентности расширения   если:

  • элементы   алгебраически независимы над  
  • базис полон, то есть   является алгебраическим расширением поля   полученного присоединением элементов   к полю  

Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.

Расширение поля   называется чисто трансцендентным, если в   существует подмножество   алгебраически независимых над   элементов такое, что  

ПримерыПравить

  • Для расширения поля рациональных чисел   до поля вещественных чисел   степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
  • Поле рациональных функций   переменных   над полем   является чисто трансцендентным расширением   Его степень трансцендентности равна   а в качестве базиса трансцендентности можно взять  
  • Поле   является расширением поля   со степенью трансцендентности 1, потому что   является алгебраическим числом, а   — трансцендентным.
  • Поле   также является расширением поля   его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы   и   алгебраически независимыми.

СвойстваПравить

Если мы имеет двукратное расширение поля:   то степень трансцендентности   равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности   и   Базис трансцендентности   получается объединением базисов трансцендентности для   и  

ЛитератураПравить

СсылкиПравить