Стодвадцатиячейник

Стодвадцатиячейник
Schlegel wireframe 120-cell.png
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли {5,3,3}
Ячеек 120
Граней 720
Рёбер 1200
Вершин 600
Вершинная фигура Правильный тетраэдр
Двойственный политоп Шестисотячейник

Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

ОписаниеПравить

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности  

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатахПравить

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

  • координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел  
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками  
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками   где   — отношение золотого сечения;
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками  
  • координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками  
  • координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками  

Начало координат   будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространствоПравить

 
Вид снаружи
 
Вид изнутри

Ортогональные проекции на плоскостьПравить

Метрические характеристикиПравить

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины   то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

 
 

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

 

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

 

ПримечанияПравить

СсылкиПравить