Открыть главное меню

Строго нормированное пространство

Единичный шар на средней фигуре строго выпуклый, в то время как остальные два — нет (их границы содержат отрезки прямых).

В математике, строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.

Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных , удовлетворяющих условию , найдётся такое , что .

Свойства строго нормированных пространствПравить

  • Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для   найдется не более одного элемента   такого, что  .

Элемент   называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.

Теорема. Пусть Xнормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для   существует элемент наилучшего приближения  .

При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.

Примеры строго нормированных пространствПравить

  •   с нормой  . Однако нормы   и   на  , эквивалентные норме   не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок).
  •  , где  . Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского.
  • Гильбертовы пространства

ЛитератураПравить

  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).