Сумма Минковского

Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:

Сумма Минковского синей и зелёной фигуры равна красной фигуре

$C=\left\{\,c\mid c=a+b,a\in A,b\in B\,\right\}$

Аналогично определяется произведение множества на число:

$\lambda A=\left\{\,\lambda a\mid a\in A\,\right\}$

Свойства

• Если множество A выпукло, то

  $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$

для любых $\lambda >0$ и $\mu >0$.

• $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
• $A+B=B+A$
• $A+\left\{0\right\}=A$

О разности Минковского

Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).

• Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что

  $C+B\subset A$,

но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.

• Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности

  $(A,B)\sim (C,D)\Leftrightarrow A+D=B+C$

Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.

Вариации и обобщения

• Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств $A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$ и другие операции.

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.