Открыть главное меню

Сферическая система координат

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами , где  — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы , фундаментальной плоскостью будет плоскость , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором , будет угол между и осью , а азимутом — угол между проекцией на плоскость и осью . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

ОпределенияПравить

Положение точки   в сферической системе координат определяется тройкой  , где

  •   — расстояние от начала координат до заданной точки  .
  •   — угол между осью   и отрезком, соединяющим начало координат и точку  .
  •   — угол между осью   и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой  , на плоскость   (см. рис. 1).

Угол   называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, а угол   — азимутальным. Углы   и   не определены при  , также не определён угол   при   (то есть при   или  ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла  , используется угол между радиус-вектором точки   и плоскостью  , равный  . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой  . Широта может изменяться в пределах  . При этом соглашении углы   и   не имеют значения при  , так же как и в первом случае, а   не имеет значения при   (то есть при   или  ).

Переход к другим системам координатПравить

Декартова система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки  , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

 

Обратно, от декартовых к сферическим:

 

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен  

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

 

Цилиндрическая система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим  .

Дифференциальные характеристикиПравить

Вектор  , проведённый из точки   в точку  , равен

 

где

 
 
 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения  , соответственно, а   — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

 
  •  
  • Квадрат дифференциала длины дуги:
 
 
 
 
 

Остальные равны нулю.

См. такжеПравить

СсылкиПравить