Открыть главное меню

Сферическая система координат

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — кратчайшее расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис.1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальной является плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Содержание

ОпределенияПравить

Три координаты   точки   вводятся с помощью декартовой системы координат. Криволинейные координатные линии, проходящие через точку  , образуются при изменении одной координаты при фиксированных остальных. За направление координатной линии в точке   принимается направление возрастания соответствующей координаты. Векторы базиса   в точке   являются частными производными радиус — вектора   по переменным   и составляют правую тройку.

  •   — расстояние от начала координат до заданной точки  .
  •   — угол между осью   и отрезком, соединяющим начало координат и точку  .
  •   — угол между осью   и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой  , на плоскость   (см. рис. 1).

Угол   называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол   — азимутальным. Углы   и   не имеют значения при  , а   не имеет значения при   (то есть при   или  ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11ruen). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла  , используется угол между радиус-вектором точки r и плоскостью xy, равный   —  . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой  . Широта может изменяться в пределах  . При этом соглашении углы   и   не имеют значения при  , так же как и в первом случае, а   не имеет значения при   (то есть при   или  ).

Часто, по аналогии с цилиндрической системой координат  , которая является правой, используют сферическую систему координат  , где изменен порядок следования координат в отличие от определенного выше. Такая система координат является левой, так как векторы базиса   при определении области изменения угла    составляют левую тройку векторов (луч из точки  , направленный в указанной последовательности на концы векторов, двигается против часовой стрелки), в то время как исходная системе координат   является правой. Для векторных операций при переходе от одной системы координат к другой существенно, чтобы правая система переходила в правую. Сферическая система координат   будет правой, если определить угол   следующим образом:  .

Переход к другим системам координатПравить

Декартова система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки  , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

 

Обратно, от декартовых к сферическим:

 

(здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений   вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты  ).

Якобиан преобразования к сферическим координатам имеет вид:

 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

 

Цилиндрическая система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

 

Дифференциальные характеристикиПравить

Вектор  , проведённый из точки   в точку  , равен

 

где

 
 
 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения  , соответственно, а   — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

 
  •  
  • Квадрат дифференциала длины дуги:
 
 
 
 
 

Остальные равны нулю.

См. такжеПравить

СсылкиПравить