Сферическая система координат

Сферическая система координат — трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами , где  — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а и  — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы , фундаментальной плоскостью будет плоскость , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором , будет угол между и осью , а азимутом — угол между проекцией на плоскость и осью . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат.

ОпределенияПравить

Положение точки   в сферической системе координат определяется тройкой  , где

  •   — расстояние от начала координат до заданной точки  .
  •   — угол между осью   и отрезком, соединяющим начало координат и точку  .
  •   — угол между осью   и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой  , на плоскость   (см. рис. 1).

Угол   называется зенитным, или полярным, также он может называться наклонением, или коширотой, а угол   — азимутальным. Углы   и   не определены при  , также не определён угол   при   (то есть при   или  ).

Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла  , используется угол между радиус-вектором точки   и плоскостью  , равный  . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой  . Широта может изменяться в пределах  . При этом соглашении углы   и   не имеют значения при  , так же как и в первом случае, а   не имеет значения при   (то есть при   или  ).

Переход к другим системам координатПравить

Декартова система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки  , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

 

Обратно, от декартовых к сферическим:

 

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

 

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

 

Цилиндрическая система координатПравить

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

 

Обратно от цилиндрических к сферическим:

 

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим  .

Дифференциальные характеристикиПравить

Вектор  , проведённый из точки   в точку  , равен

 

где

 
 
 

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения  , соответственно, а   — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

 
  •  
  • Квадрат дифференциала длины дуги:
 
 
 
 
 

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование ЗемлиПравить

Сферическая географическая система координатПравить

Сферическая географическая система координат строится следующим образом[1]:

  • её начало помещено в центр Земли;
  • полярная ось направлена по оси вращения Земли;
  • координата   отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
  • полярный угол   есть коширота (дополнение географической широты до  );
  • азимутальный угол   совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли   имеет компоненты

 

где   — магнитное наклонение;   — магнитное склонение.

Компоненты вектора ускорения свободного падения   равны

 

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли   такие:

 

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства[1].

Сферическая геомагнитная система координатПравить

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом[1]:

  • её начало помещено в центр Земли;
  • полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
  • координата   отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
  • полярный угол   есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты   до  );
  • азимутальный угол   совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии, содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

 

В сферической геомагнитной системе координат склонение   и

 
 
 
 
 

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты[1]:

 
 
 
 

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1

СсылкиПравить