Сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

ОпределениеПравить

 
Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение  ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

 
 ,

где * обозначает комплексное сопряжение,   — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

 ,

где функции   являются решениями уравнения

 

и имеют вид

 

Здесь   — присоединённые многочлены Лежандра, а   — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным   здесь вводятся как

 

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная формаПравить

 
Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла   - комплексная экспонента. Используя Формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что вещественные функции могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных.

 

Обратное преобразование:

 

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными.[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 - как синус.

 

ПоворотыПравить

 
Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат  , на Углы Эйлера   который преобрaзует единичный вектор   в вектор  . При этом углы   вектора   в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

 
 

В новой системе координат сферическая функция с индексами   и   будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером   и различными  . Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера[2]

 

Сферические функции с номером   образуют базис неприводимого представления размерности   группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциямПравить

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

 

Здесь   - сферическая функция Бесселя


См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики
  2. M. A. Morrison, G. A. Parker. A guide to rotations in quantum mechanics. — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987

ЛитератураПравить

ПриложенияПравить

СсылкиПравить