Сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

ОпределениеПравить

 
Вещественные сферические функции Ylm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Yl-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение  ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере   в трёхмерном пространстве:

 
 ,

где * обозначает комплексное сопряжение,   — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

 ,

где функции   являются решениями уравнения

 

и имеют вид

 

Здесь   — присоединённые многочлены Лежандра, а   — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным   здесь вводятся как

 

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Вещественная формаПравить

 
Вещественные сферические функции до шестого порядка

Для сферических функций форма зависимости от угла   — комплексная экспонента. Используя Формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что вещественные функции могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных.

 

Обратное преобразование:

 

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными.[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

 

ПоворотыПравить

 
Поворот вещественной сферической функции с m=0 и l=3. Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны вещественные функции, но могут быть получены при переразложении по комплексным функциям

Рассмотрим поворот системы координат  , на Углы Эйлера   который преобрaзует единичный вектор   в вектор  . При этом углы   вектора   в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

 
 

В новой системе координат сферическая функция с индексами   и   будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером   и различными  . Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера[2]

 

Сферические функции с номером   образуют базис неприводимого представления размерности   группы вращений SO(3).

Разложение плоской волны по сферическим функциямПравить

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

 

Здесь   — сферическая функция Бесселя

Разложение произведений сферических функцийПравить

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом [3]:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики Архивная копия от 27 декабря 2019 на Wayback Machine
  2. M. A. Morrison, G. A. Parker. A guide to rotations in quantum mechanics Архивная копия от 1 октября 2019 на Wayback Machine. — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987
  3. Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine — Л.: Наука, 1975.

ЛитератураПравить

ПриложенияПравить

СсылкиПравить